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Matrice dimension

Posté par
matheux14 24-09-22 à 02:22

Bonjour,

J'essaie de résoudre cet exo mais je me casse la figure pourtant ça semble être facile et intéressant.

On donne :

\forall a,n \in \N ~~;~~a \neq 0 \\\\ \Delta_n(a) = \begin{vmatrix} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & a + 1\\ \\ 1 & 2 & 0 & \ddots & (a +1)² \\ \\ 1 & 3 & 3 & \ddots & \ddots  \\ \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &  \\ \\ \vdots &  &  & 0 & \ddots & \\ \\ \vdots & \dots & \vdots &   C^{n -1}_{n} & \dots  \\ \\ 1 & C^1_{n + 1} & C^2_{n + 1} & C^{n - 1}_{n + 1} & (a + 1)^{n + 1} \\ \end{vmatrix}

Calculer \Delta_n(a) - \Delta_n(a - 1) et en déduire une expression de \Delta_n(a) sous forme d'une somme. Retrouvez ainsi \sum\limits^N_{k = 1} k^3

Posté par
carpediemre : Matrice dimension 24-09-22 à 08:59

salut

vu tous les 0 sur la première ligne je développerai certainement ce déterminant suivant la première ligne ...

ouais bof faut voir ...

ou alors pour calculer la différence demandée peut-être plutôt développer suivant la dernière colonne et factoriser ...

Posté par
jandri Correcteurre : Matrice dimension 24-09-22 à 09:57

Bonjour,

ce n'est pas aussi facile que cela semble. Il faut d'abord préciser que la matrice possède n+1 colonnes et l'écrire pour n=2 afin de bien la voir.

Il faut développer chaque terme de la dernière colonne par la formule du binôme puis retrancher à cette colonne une combinaison linéaire des n premières afin de pouvoir faire apparaitre \Delta_n(a) comme la somme de \Delta_{n-1}(a) et d'un déterminant triangulaire facile à calculer. On en déduit \Delta_n(a) sous forme d'une somme.

Pour la deuxième question il suffit de calculer \Delta_3(a).

Posté par
matheux14re : Matrice dimension 24-09-22 à 19:53

Merci de vos réponses !


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