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matrice et base canonique

Posté par
jehutyy 19-04-12 à 14:03

Bonjour,
J'ai une application linéaire f:33
définie par f(x,y,z)=(2x-2y+4z, x-y+2z, -x+y-2z).

On me demande d'écrire la matrice A de f dans la base canonique B de 3.

Donc d'apres ce que j'ai compris la base canonique de 3,
c'est (e1,e2,e3), où e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1).

Et c'est la que ça se corse, je ne sais pas par où commencer.

Si une âme charitable pouvait au moins m'indiquer la démarche à suivre...

cordialement
jehutyy

Posté par
GaBuZoMeure : matrice et base canonique 19-04-12 à 14:06

Peux-tu rappeler quelle est la définition de la matrice de f dans une base B ? La première chose, c'est de bien connaître son cours.
Que vaut f(e_1) ? f(e_2) ? f(e_3) ?

Posté par
jehutyyre : matrice et base canonique 19-04-12 à 15:41

Je l'avoue je m'emmele les pinceaux avec toutes ces définitions,
néanmoins je pense que f(e1)=(2,1,-1), f(e2)=(-2,-1,1) et f(e3)=(4,2,-2) non?

Posté par
Camélia Correcteurre : matrice et base canonique 19-04-12 à 15:51

Bonjour

Oui! Donc la matrice est?

Posté par
fermat_lebesguere : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:22

Bonjours
puisque  f(e_1)=(2,1,-1),  f(e_2)=(-2,-1,1) et f(e_3)=(4,2,-2)
alors la matrice A de f dans la base canonique s'ecrit:

\large A\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & f(e_1) & f(e_2) & f(e_3) \\ \hline e_1&2&-2&4\\e_2&1&-1&2\\ e_3&-1&1&-2 \end{array} \right)

Posté par
GaBuZoMeure : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:24

Citation :
je m'emmele les pinceaux avec toutes ces définitions


Il n'y en a tout de même pas tant que ça. Et si tu ne connais pas les définitions, comment veux-tu arriver à quelque chose ? Donc : que veut dire "A est la matrice de f dans la base (e_1,e_2,e_3)" ?

Posté par
jehutyyre : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:25

ah!
Donc la matrice de cette application linéaire est:
2 -2 4
1 -1 2
-1 1 2

Mais étant donné que la ligne 1 est deux fois la ligne 2, et que la ligne 3 est -1 fois la ligne 2
peut on dire que la matrice de cette application lineaire est egale a 1 -1 2 ?

Posté par
GaBuZoMeure : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:28

Le temps que j'écrive mon message, tu as répondu.
Une petite précision : la matrice, c'est A= \begin{pmatrix} 2&-2&4\\1&-1&2\\ -1&1&-2\end{pmatrix}. La ligne du haut et la colonne de gauche ne font pas partie de la matrice : c'est juste un moyen de se rappeler comment on l'a fabriquée.

Posté par
urgore : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:30

Peut-être y verras-tu plus clair
Si v=xe_1+ye_2+ze_3. On a que f(v) est un vecteur de \R^3, c'est à dire que:
f(v)=\left(\begin{array}{c}f_1\\f_2\\f_3\end{array}\right)

f(v)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)\Leftrightarrow \left(\begin{array}{c}f_1\\f_2\\f_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2x-2y+4z\\x-y+2z\\-x+y-2z\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
Tu connais le produit matriciel... essaye donc déduire A\in\mathcal M_3(\R)

Posté par
jehutyyre : matrice et base canonique 19-04-12 à 16:43

Merci à tous de vos réponses, en effet je connaissais cette définition mais je n'étais pas sûr de moi.
Je pense que ce qui me trouble le plus, c'est que cela me semble tellement trop simple...


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