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Matrice et trace

Posté par
samissa 25-09-16 à 19:01

Bonjour,
Je suis sur un exo de maths qui me pose problème..

Soient A et B matrices carrées de taille n.

1/ Montrer que montrer que si AB-BA = A, alors A n'est pas inversible.

2/Montrer que si A de rang 1, alors A^2=tr(A)*A

moi :
1/ Je viens de montrer qu'il n'existe pas 2 matrices telle que AB-BA=I, ici on remarque que tr(AB-BA)=0 mais cela ne m'avance pas .. si ?
2/ A est de rang A signifie que la matrice est réduite a un vecteur colonne

Merci d'avance

Posté par
castorre : Matrice et trace 25-09-16 à 19:53

A est à coefficients complexes ?

Posté par
etniopalre : Matrice et trace 25-09-16 à 20:10

Si A est de rang 1  , pour tout p  on a   : A(p,1)  = A(p,2) = .... = A(p,n)   ( = cp )  et les cj ne sont pas tous nuls  et donc  tr(A) = k  ck .
Pour tout (p,q) on a A²(p,q) = k A(p,k)A(k,q) = kcpck = cptr(A)

Tr(A²) = pA²(p,p) = ....

Posté par
samissare : Matrice et trace 25-09-16 à 20:31

Merci de vos réponses.

Castor : A est dans Mn(K) mais j'imagine que l'idée de l'exercice n'est pas de travailler en complexe

etniopal : Donc la matrice est constitué de n fois la même colonne ?
Pouvez vous détailler A²(p,q) = \sum_{k=1}^{n}{} A(p,k)A(k,q) = \sum_{k=1}^{n}{} c_p*c_k = c_p*tr(A)
Comment passe-t-on de \sum_{k=1}^{n}{} A(p,k)A(k,q) = \sum_{k=1}^{n}{} c_p*c_k ?

Posté par
castorre : Matrice et trace 25-09-16 à 20:38

Pour la question 1, tu peux raisonner par l'absurde. Si A est inversible, je note C son inverse. On obtient  :
B-CBA=I_n
tu prends la trace:
tr(B)-tr(CBA)=tr(B)-tr(BAC)=tr(B)-tr(B)=0=tr(I_n)=n
d'où une contradiction.

Posté par
samissare : Matrice et trace 25-09-16 à 20:45

Oui, j'aurai du y penser pour la question 1, merci beaucoup !

Et pour la 2 ?

Posté par
castorre : Matrice et trace 25-09-16 à 20:48

Si ta matrice est de rang 1, toutes les colonnes sont colinéaire à la première (si non nulle).
Une fois cela traduit, tu calcule l'élément p,q de A^2 et vérifie qu'il est égal à tr(A)*élément p,q de A (cf. détail des calculs avec réponse de Ethniopal).

Posté par
samissare : Matrice et trace 25-09-16 à 21:21

J'ai bien lu son message, mais je ne comprend pas une étape.
On note cp la "p ième" colonne et a(ij) le terme général de A
A^2 = \sum_{k=1}^{p}{a_{ik}*a_{ki}} puis je bloque..

Posté par
etniopalre : Matrice et trace 26-09-16 à 10:29

1.Ce que je note A(p,q) n'est autre que ton ap,q .

2.Si A est de rang 1 il existe 0 et C Mn,1 \{0} telle que pour tout k la kième colonne  de A soit .C
On a donc A(j,k) = .cj pour tout (j,k) .
Montrer  qu'on a  A² = tr(A).A  équivaut à montrer qu'on a :  (A)² = tr(.A).(.A)  si 0 .
C'est pour ça que j'ai fait des calculs en supposant que = 1 .  

Si tu"  bloques " c'est que tu ne vois pas la relation  " A(j,k) = .cj pour tout (j,k)  " .

Posté par
samissare : Matrice et trace 26-09-16 à 23:05

Donc, on a
A^2 = \sum_{k=1}^{p}{a_{ik}*a_{ki}}= \sum_{k=1}^{p}{c_{i}*c_{k}}=A*Tr(A)  ?

Posté par
DOMOREAre : Matrice et trace 27-09-16 à 17:47

bonjour,
Je reprends le fil car je ne vois pas la solution  de 2) dans ce qui précède.
Le début a déjà été dit
A=(a_{i,j})     A^2=(b_{i,j})      b_{i,j}= \sum_{k=1}^{n}a_{i,k}a_{k,j}
on peut supposer que la première colonne de A n'est pas nulle.
comme le rang de A est 1 , les colonnes 2,3,...n sont colinéaires à la colonne 1.
donc\exists \lambda_2,\lambda_3 ...,\lambda_n   tels que \forall k\ge 2 ,a_{i,k}=\lambda_{k} a_{i,1}  et  a_{k,j}=\lambda_{j}a_{k,1}
on pose \lambda_1=1
donc b_{i,j}=\lambda_{j}a_{i,1}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k,1}
Tr(A]=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}
Tr(A)\times A=B=(c_{i,j})

c_{i,j} =a_{i,j}\times \sum_{i=1}^{n}a_{i,i}=\lambda_{j}a_{i,1}\times (a_{1,1}+\lambda_2 a_{2,1}+\lambda_3a_{3,1}+...+\lambda_n a_{n,1})
donc c_{i,j}=b_{i,j} est vérifié

Posté par
samissare : Matrice et trace 27-09-16 à 19:21

Parfait, c'est beaucoup plus clair, merci pour vos réponses à tout les trois !!

Posté par
etniopalre : Matrice et trace 28-09-16 à 09:26

Soient E := Kn et u L(E) dont A est la matrice dans la base canonique de E  . Im(u) est donc de dimension 1 et son noyau de dimension n-1.
Il existe donc une base b = (b1,....,bn) de E telles que (b1,....,bn-1) soit une base de Ker(u) et u(bn) 0  .
La matrice  B de u dans b est P-1AP où P est la matrice de passage de la  base canonique de E à b . A et B ont même trace  qui vaut B(n,n)  ( pour tout j on a  B(j,1) = ....= B(j,n-1) = 0) .
Comme  u²(b1=...= u²(bn-1= 0 et u²(bn = B(n,n).u(bn   on a   u² = B(n,n).u    donc    A² = B(n,n)A   c'est à dire  tr(A²) = tr(A).A .

Posté par
DOMOREAre : Matrice et trace 28-09-16 à 10:18

bonjour etniopal,

c'est en effet une très bonne méthode (tu as laissé deux coquilles  sans importance pour la compréhension)

Posté par
samissare : Matrice et trace 29-09-16 à 21:49

Bonsoir, merci pour ces précisions, je n'ai plus d'excuses pour ne pas réussir cet exo !


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