salut

avec une reduite de gauss j'arrive à

1  1   1
0  -2  0
0  2   2    en ayant effectué  L2 <---L2 - L1  et  L3 <----L3+L1



1  1   1
0  -2  0
0  0   2    en ayant effectué L3 < --- L3+L2

Mais je suis bloqué pour arriver à la matrice identitée..

Tout de même merci beaucoup pour votre réponse !

En image (avec EXCEL)...

Merci de cette grande aide !
Je dois de plus déterminer la matrice D telle que A=PDP^-1
Dois-je résoudre ce système ou utiliser les matrices ?

multiplie l'égalité à gauche par et à droite par P ...

Je trouve AP^-1=PD si je fais cela

Mais sinon je peux faire P^-1AP=D  ?

Voici le polynome caractéristique :

det ( A - L I) = - (L-1)(L-1)(L+1) = -L³ + L² + L - 1

et det (A - L I) = 0

<=> I = -L³ + L² + L

en remplaçant L par A :

<=> I = -A³ + A² + A

en multipliant par A^-1 :

<=> A^-1= -A² + A + I

voila

Merci mais je n'ai absolument rien compris

ah ok, en fait pour chaque matrice tu as un polynome qui s'appelle le polynome caracteristique qui s'écrit:


p(L) = det ( A - L I)

L = valeur propre
I = matrice identité (1 sur la diagonale, 0 ailleurs)
det = déterminant de la matrice

normalement tu devrais savoir comment calculer le déterminant d'une matrice sinon regarde ds tes cours ou sur le net. J'ai fait le calcul au dessus pour ta matrice de l'exercice.

Ensuite une des propriétés du polynome caracteristique est que :
p(L) = 0  et aussi p(A) = 0

J'utilise la propriété p(A)=0 au-dessus pour trouver A^-1 en fonction des puissances de A
ce qui rend le cacul de A^-1 beaucoup plus facile plutot que d'utiliser les pivots etc...

MERCI beaucoup pour votre réponse, je n'ai pas appris à faire comme cela pour trouver une matrice inverse
Par contre pour trouver la matrice D telle que A=PDP^-1 , savez vous comment faire ?

voici un exemple comment calculer avec les matrices de passage:

http://www.prepacom.net/HEC2/math/cours/Changement%20de%20bases.pdf

il suffit de remplacer les valeurs

J'aimerais savoir si  je peux faire P^-1AP=D  ?

@lafol c'est cela que vous m'avez conseillé non ?

exactement ça oui
ne te laisse pas impressionner par ceux qui veulent te faire le cours de l'an prochain déjà maintenant

Huggy, honnêtement, trouver plus facile de calculer un déterminant que d'inverser une matrice par la méthode du pivot .... hem ! tu le calcules comment ce déterminant ? avec le même nombre d'opérations, voire moins, la matrice est déjà inversées, par la méthode du pivot.

Ahahah merci  ! Donc pour trouver D sous forme matriciel je dois d'abord faire P^-1 * A ou A*P ?? Ou bien autre chose ?

comme tu veux : le produit des matrices est associatif, alors calculer ou , ça donnera la même chose.

le polynome caractéristique c'est du niveau 1ère année d'études supérieures,

c'est pour cela que j'ai donné cette solution.

mais c'est parfaitement inutile pour inverser une matrice !
et si elle commence seulement l'étude des matrices, elle n'a pas encore parlé de déterminant et encore moins de diagonalisation (qui dans bien des formations est au programme de deuxième année, sans compter que le th de Cayley n'est pas au programme dans tous les cursus)

si tu le dis

Ecrire P^-1AP=D ou PAP^-1=D est la même chose ?
J'ai trouvé cela pour la matrice D:
000
000
408

le produit des matrices est associatif, mais pas commutatif : tu peux déplacer les parenthèses, pas les matrices.

ici tu dois calculer , et D devrait être diagonale, j'imagine (mais comme tu ne nous as pas donné A, on ne peut pas vérifier tes calculs)

La matrice A :
5 1 2
-1 7 2
1 1 6

On me dit de déterminer la matrice D telle que A=PDP^1 et non telle que A=P^1DP
Donc pourquoi le calculer (si je ne peux pas déplacer les matrices)

=D...

tu devrais trouver D =

Ouf j'ai trouvé ça
Je dois expliciter la matrice A^n définie par A^n=PD^nP^-1
Je trouve une matrice immense, je ne pense pas pouvoir simplifier
Pour le premier terme par exemple, je trouve:
1/2.4^n+1/2.6^n

Est-ce cela ?

et tu multiplies du bon côté par la bonne matrice (P d'un côté, son inverse de l'autre)
chaque terme sera une combinaison linéaire de , (que tu peux écrire si tu préfères) et , c'est normal.

me suis embrouillée, combinaisons linéaires de , et , plutôt

Merci donc mon premier terme, est-il juste ?

1/2.4^n+1/2.6^n