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matrice inverse deug

Posté par sebastien (invité) 28-06-04 à 21:08

bonjour,

je ne comprend pas comment on alcule une matrice inverse sans utiliser
de determinan mais en utilisan la matrice identite

je sai que:
A*A-1=I
mais pour chercher A-1 comment on fait il faut qd meme pas diviser I par
A svp ce serai cool que qq m aide car je sui un peu perdu merci pour
votre aide.

Posté par
charlynoodles
re : matrice inverse deug 28-06-04 à 21:53

Salut Sébastion , tu veux parler de la méthode de gauss (dite du
miroir)

Il s'agit en fait de partir de ta matrice A et de la matrice identité

A | I

Je reste vague car je l'utilise jamais ( je préfere (1/ det)* tCom
A)

de faire des combinaisons linéaires sur A et des faire les memes sur
la matrice identité à gauche . Ainsi de suite à chaque étape . Le
but de la manoeuvre est de transformer ta matrice A en matrice identité
. Quand A est transformée en matrice identité , la matrice de droite
donne A^-1

Voilà

Charly

Posté par Guillaume (invité)re : matrice inverse deug 29-06-04 à 15:38

<p>Voici un exemple pour te décrire cette methode: tu as une matrice
A que tu veux inverser
  (on suppose qu'on a déjà démontré qu'elle était inversible...)
  </p>
<p>On ecrit A et Id en parallèle.
  Ensuite tu fais des manipulations sur les lignes et colonnes pour
transformer A en Id et à chaque fois que tu fais une transformation,

  tu l'applique en parallèle sur Id, Quand A est devenue Id,
Id est devenue A^(-1)
  
!!!!!</p>
<p>les transformations auxquelles tu as droit c'est remplacer (Li)
par (alpha Li+beta Lj) (alpha non nul très important)
  ou bien (Ci) par (alpha Ci+beta Cj) (alpha non nul aussi) </p>
<table width="75%"  border="2" cellspacing="0" cellpadding="0">
  <tr>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
        <tr><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>3</td><td>4</td></tr>
      </table>
    </div></td>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
        <tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td></tr>
      </table>
    </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td colspan="2"><div align="center">je fais L2 devient 2L2-3L1
sur les deux matrices :</div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
        <tr><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>5</td></tr>
      </table>
    </div></td>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
          <tr>
            <td>1</td>
            <td>0</td>
          </tr>
          <tr>
            <td>-3</td>
            <td>2</td>
          </tr>
      </table>
    </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td colspan="2"><div align="center">je fais L1 devient L1-(1/5)L2
sue les deux matrices: </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
          <tr>
            <td>2</td>
            <td>0</td>
          </tr>
          <tr>
            <td>0</td>
            <td>5</td>
          </tr>
      </table>
    </div></td>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
          <tr>
            <td>8/5</td>
            <td>-2/5</td>
          </tr>
          <tr>
            <td>-3</td>
            <td>2</td>
          </tr>
      </table>
    </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td colspan="2"><div align="center">je fais L1 devient (1/2)L1
et L2 devient (1/5)L2: </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
          <tr>
            <td>1</td>
            <td>0</td>
          </tr>
          <tr>
            <td>0</td>
            <td>1</td>
          </tr>
          </table>
    </div></td>
    <td><div align="center">
      <table border="1">
          <tr>
            <td>4/5</td>
            <td>-1/5</td>
          </tr>
          <tr>
            <td>-3/5</td>
            <td>2/5</td>
          </tr>
          </table>
    </div></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>on a donc ici A qui est devenue Id.. </td>
    <td>...et là Id qui est devenue A^(-1)</td>
  </tr>
</table>

Quelques remarques: tu peux remplacer une ligne par une combinaison des autres
lignes
(moi j'ai pris une 2*2 pour faire simple...) il faut juste que le
coefficient de ta ligne soit non nul.
Idem pour les colonnes.

Chaque transformation (ligne ou colonnne) peut se traduire par la multiplication
par une matrice
L ou C.
Pour aller de A à Id on utilise donc une suite L*C*L*L*C...*C de matrices
ce qui donne:
A*(L*C*L*L*C...*C)=ID
si A est inversible ca donne:
Id*(L*C*L*L*C...*C)=A^(-1)
d'ou l'idée de partir de Id et d'allelr par les meme transformations
vers A^(-1)
A+

Posté par Doc Nico (invité)surout ne jamais utiliser de déterminant 05-07-04 à 15:03

Salut,

tout d'abord une question en quel deug es tu ?

pour répondre à ton problème, il est vrai que la méthode de Gauss est
la première méthode que l'on apprend et Guillaume l'a très
bien expliqué.
Cependant je tiens à mettre un bémol sur l'utilisation de la méthode du
déterminant.

Il faut voir que lorsque tu fais des calculs à la main, ttes matrices
ne sont pas importantes. Jusqu'à un ordre 5, on peut considérr
que c pas dur de calculer le déterminant et la matrice des codéterminants,
mais qd tu seras par exmple confronté à des matrices 1000*1000, tu
seras bien content de ne pas calculer par cette méthode. Je m'explique
:

un calcul de déterminant demande n! calculs c'est à dire que l'inversion
de ta matrice avec la constituion de la matrice des codéterminants,
demanderait (n+1)!*n (où n est la taille de ta matrice.
ce qui veut dire que pur inverser ta matrice 1000*1000, il te faut environ
(j'te fais ca à al louche) 1001!*1000 opérations... soit environ
plusieurs années lol

donc on utilise plutôt des méthodes qui diminue le nombre d'opérations.
PAr exmple le pivot de Gauss permet de résoudre la matrice seulement
avec (de mémoire 4/3 n^3 opérations, ce qui est déjà plus raisonnable...

mais attention, car une méthode de type gauss, même si en théorie est
géniale, se révèlera pas terrible si on la programme, car elle a
une facheuse tendance a être très sensible aux erreurs machines...
D'où l'utilisation d'autres méthodes que tu verras
peut être par la suite ...

J'espère avoir un tant soit peu éclairer ta lanterne sur le pk de l'utilisation
de dete méthode


Doc Nico

Posté par Zouz (invité)re : matrice inverse deug 05-07-04 à 16:15

sinon on peut résoudre le système correspondant:
A*X=Id
où X sera ta matrice inverse de A

Posté par Zouz (invité)re : matrice inverse deug 05-07-04 à 16:35

Tiens, un homonyme !

Posté par
otto
re : matrice inverse deug 27-07-04 à 18:51

"mais pour chercher A-1 comment on fait il faut qd meme pas diviser
I par
A"

C'est une blague?

Tu as déjà divisé des matrices entre elles?
C'est quoi la division de matrices?

Posté par Alter Ego (invité)Matrice inverse 01-08-04 à 12:32

Bonjour,

Je préfère calculer la matrice inverse par la méthode de Gauss ou
bien par "Synthetic Elimination".

C'est plus rapide et si on a recourt à des nombres décimaux pour
une matrice d'ordre élevée, la méthode est plus efficace.

Voilà quelques temps, à l'aide du QuickBASIC, j'ai fait un programme
qui m'a semblé utopique initialement, mais combien efficace
d'autant plus qu'il traite les nombres réels et/ou imaginaires.

Vous pouvez rendre visite à ma page WEB:

http://www3.sympatico.ca/nova.celesta/

Si vous passez par là, merci à l'avance de votre visite.

AE

NOTE: Aussi, grâce à la méthode de Gauss, il est facile d'effectuer
la division de deux matrices carrées d'ordre identique. Pour
l'instant, cette application ne fait pas partie de mage WEB.



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