Bonjour,
J'ai un exercice à faire où il faut démontrer des équivalences et je suis bloquée. Je n'arrive pas à faire l'exercice. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?
Merci beaucoup d'avance.
Voici l'énoncé :
Soit M ∈ Matn×n(K) et φM : K^n → K^n l'application qui envoie v ∈ K^n sur Mv. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) M est inversible ;
(ii) φM est bijectif;
(iii) φM est injectif;
(iv) φM est surjectif;
(v) ker(M) = 0.
Je sais que M inversible est égal à dire que le det(M) est différent de 0, mais par après je ne sais pas comment lier cela à la bijectivité.
Commence par démontrer que les assertions (i) à (v) sont équivalentes en montrant que chaque assertion implique les autres.
(i) ⇒ (ii) ?
Si M est inversible, alors il existe une matrice inverse telle que , où ?? est la matrice identité de taille . Soit . Alors, pour tout , que vaut ?
Et donc est-elle surjective ?
Voilà, et de plus si , alors que vaut $, ce qui implique que $v = ??$.
Et donc qu'en est-il de ?
Ensuite, tu dois montrer que (ii) implique (i).
Bonsoir,
on peut remarquer que les quatre dernières affirmations ne concernent que les applications linéaires de Kn dans Kn.
Il me semble que (v) doit-être réécrit ker(M) = {0}.
On peut commencer par montrer qu'elles sont équivalentes.
Si tu connais le théorème du rang : dim(Im())+dim(ker())=n, c'est presque évident.
Si tu ne le connais pas il faut le démontrer.
Ensuite il reste à prouver que (i)(ii).
Remarque importante : tout ceci est vrai parce que l'on est dans des espaces vectoriels de dimension finie.
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