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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrice inversible et bijective

Posté par
Natalijaaaaa
19-03-23 à 11:43

Bonjour,
J'ai un exercice à faire où il faut démontrer des équivalences et je suis bloquée. Je n'arrive pas à faire l'exercice. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?
Merci beaucoup d'avance.
Voici l'énoncé :

Soit M ∈ Matn×n(K) et φM : K^n → K^n l'application qui envoie v ∈ K^n sur Mv. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) M est inversible ;
(ii) φM est bijectif;
(iii) φM est injectif;
(iv) φM est surjectif;
(v) ker(M) = 0.

Posté par
matheux14
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 12:04

Bonjour, qu'est ce que tu proposes ?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 12:08

Je sais que M inversible est égal à dire que le det(M) est différent de 0, mais par après je ne sais pas comment lier cela à la bijectivité.

Posté par
matheux14
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 12:19

Commence par démontrer que les assertions (i) à (v) sont équivalentes en montrant que chaque assertion implique les autres.

(i) ⇒ (ii) ?

Si M est inversible, alors il existe une matrice inverse M^{-1} telle que MM^{-1} = M^{-1}M = ??, où ?? est la matrice identité de taille n \times n. Soit v \in K^n. Alors, pour tout w \in K^n, que vaut \varphi M(w) ?

Et donc \varphi M est-elle surjective ?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 12:28

Dans ce cas là on a: \varphi M(w) = v et on trouve que c'est surjective.

Posté par
matheux14
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 12:32

Voilà, et de plus si \varphi_M(v) = 0, alors que vaut Mv = ??$, ce qui implique que $v = ??$.

Et donc qu'en est-il de \varphi_M ?

Ensuite, tu dois montrer que (ii) implique (i).

Posté par
verdurin
re : Matrice inversible et bijective 19-03-23 à 19:06

Bonsoir,
on peut remarquer que les quatre dernières affirmations ne concernent que les applications linéaires de Kn dans Kn.
Il me semble que (v) doit-être réécrit ker(M) = {0}.

On peut commencer par montrer qu'elles sont équivalentes.
Si tu connais le théorème du rang : dim(Im())+dim(ker())=n, c'est presque évident.
Si tu ne le connais pas il faut le démontrer.

Ensuite il reste à prouver que (i)(ii).

Remarque importante : tout ceci est vrai parce que l'on est dans des espaces vectoriels de dimension finie.



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