on a N matrice nilpotent de dégréé n
montrer que
In-N inversible
asque le contraire est vrai
Bonsoir,
Calcule le produit suivant en tenant compte de la nilpotence de N qui se traduit par N^n = 0n
(In-N)(In+N+N²+...+N^(n-1))
Qu'en déduis-tu ?
salut
l'dée c'est la somme des termes d'uns suite géométrique .... sachant qu'à partir d'un certain moment les puissances sont nulles lorsque N est nilpotente ....
L'idée vient en fait du développement en série entière bien connu :
1/(1-x) = 1+x+x²+...+x^n+...
Transposé en termes de matrices, cela devient formellement :
(I-N)^(-1) = I+N+N²+...+N^n+...
Lorsque N est nilpotente, il n'y a à droite qu'un nombre fini de termes, et on peut espérer avoir :
(I-N)^(-1) = I+N+N²+...+N^(n-1)
Ou encore :
(I-N)(I+N+N²+...+N^(n-1)) = I
Ce que l'on vérifie effectivement par le calcul.
merci beaucoup pour les explications
maintenant on a
(In-N)(In+N+N²+...+Nn) = In-Nn+1
comment résulte que In-N inversible
Tu as donc :
(In - N)(In + N² +...+Nn-1) = In
Et donc, par définition de l'inverse, (In + N² +...+Nn-1) est l'inverse de (In - N)
Tu as ainsi trouvé un inverse à (In - N), qui est donc inversible.
La réciproque n'est pas vraie. Prends N = 2In, alors (In - N) = -In qui n'est pas pas nilpotente, car (-In)k = (-1)kIn qui n'est jamais nulle.
Mauvaise rédaction, je reprends.
Prends N = 2In, alors In-N = -In est inversible, et est même son propre inverse, car (In-N)(In-N) = (-In)(-In) = In.
Néanmoins, N n'est pas nilpotente, car Nk = 2kIn n'est jamais nulle.
mais je fait quelques remarques
je trouve que (In+N+N2+......Nn) l'inverse de (In-N)
mais tu dis que (In + N² +...+Nn-1) est l'inverse de (In - N) pourquoi
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