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Niveau maths spé
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matrice nilpotent et inversible

Posté par
zizou06
26-01-12 à 23:09

on a N matrice nilpotent de dégréé n
montrer que
In-N inversible
asque le contraire est vrai

Posté par
gui_tou
re : matrice nilpotent et inversible 26-01-12 à 23:24

salut

(In-N)(In+N+N²+...+Nn) = In-Nn+1

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 26-01-12 à 23:29

Bonsoir,

Calcule le produit suivant en tenant compte de la nilpotence de N qui se traduit par N^n = 0n
(In-N)(In+N+N²+...+N^(n-1))
Qu'en déduis-tu ?

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 26-01-12 à 23:50

salut
pourquoi on calcule ce produit et comment le calculer

Posté par
carpediem
re : matrice nilpotent et inversible 26-01-12 à 23:53

salut

l'dée c'est la somme des termes d'uns suite géométrique .... sachant qu'à partir d'un certain moment les puissances sont nulles lorsque N est nilpotente ....

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 00:05

L'idée vient en fait du développement en série entière bien connu :
1/(1-x) = 1+x+x²+...+x^n+...
Transposé en termes de matrices, cela devient formellement :
(I-N)^(-1) = I+N+N²+...+N^n+...
Lorsque N est nilpotente, il n'y a à droite qu'un nombre fini de termes, et on peut espérer avoir :
(I-N)^(-1) = I+N+N²+...+N^(n-1)
Ou encore :
(I-N)(I+N+N²+...+N^(n-1)) = I
Ce que l'on vérifie effectivement par le calcul.

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 00:22

merci beaucoup pour les explications
maintenant on a
(In-N)(In+N+N²+...+Nn) = In-Nn+1
comment résulte que In-N inversible

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 07:16

N est nilpotente d'ordre n, donc Nn et à fortiori Nn+1 sont nulles, à toi de conclure...

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 10:11

salut
j'ai pas compris comment conclure le résultat a partir de cette formule

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 10:38

Tu as donc :
(In - N)(In + N² +...+Nn-1) = In
Et donc, par définition de l'inverse, (In + N² +...+Nn-1) est l'inverse de (In - N)
Tu as ainsi trouvé un inverse à (In - N), qui est donc inversible.

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 11:19

merci beaucoup LeHibou maintenant j'ai compris
asque le contraire est vrai

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 11:29

La réciproque n'est pas vraie. Prends N = 2In, alors (In - N) = -In qui n'est pas pas nilpotente, car (-In)k = (-1)kIn qui n'est jamais nulle.

Posté par
LeHibou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 11:50

Mauvaise rédaction, je reprends.
Prends N = 2In, alors In-N = -In est inversible, et est même son propre inverse, car (In-N)(In-N) = (-In)(-In) = In.
Néanmoins, N n'est pas nilpotente, car Nk = 2kIn n'est jamais nulle.

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 12:43

merci beaucoup  LeHibou vraiment ça c'est extra ordinaire le problème  a été resoulue

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 15:04

mais je fait quelques remarques
je trouve que (In+N+N2+......Nn) l'inverse de (In-N)
mais tu dis que (In + N² +...+Nn-1) est l'inverse de (In - N) pourquoi

Posté par
gui_tou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 17:37

Nn = 0 les deux expressions sont identiques

c'est comme écrire 1+0=1

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 17:44

oui mais asque In+N+N2=In+N2

Posté par
gui_tou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 17:46

Non N n'est pas nulle.......

Posté par
zizou06
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 18:46

donc LeHibou fait une petite faute regard Posté le 27-01-12 à 10:38

Posté par
gui_tou
re : matrice nilpotent et inversible 27-01-12 à 21:18

Non c'est moi qui t'ai répondu un truc pas super pertinent hier à 23h24



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