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matrice, noyau, image, base

Posté par
flap1847 14-06-16 à 17:16

Bonjour,

Je suis actuellement en train de revoir certaine notion que j'ai vu cette année, et en regardant une correction je n'arrive pas à comprendre la réponse donnée, si vous pouviez m'aider à completer cette correction ça serait gentil.

Voici le sujet :


Soit la matrice
M = 3 1 -3
         -1 1  1
          1  1 -1

Soit f l'application linéaire de R3 dans lui-même dont la matrice dans la base canonique de R3 est égale à M. On considère les vecteurs u1 = (1,1,1), u2 = (1,−1,0) et u3 = (1,0,1) dans R3.

La question : Déterminer une base de ker f et de Im f.

Comme réponse ils donnent ceci :
"En travaillant dans la base ( u1, u2,  u3), on voit que l'image du vecteur  u = x1 u1 + x2  u2 + x3 u3 est égale à x1 u1 +2x2 u2, d'où l'on déduit que :
ker f = Vect{ u3}
Im f = Vect{ u1,  u2}. "

C'est ce que j'ai mis en rouge que je n'arrive pas à assimiler pourquoi en deduire ça de ce qu'ils disent précédemment ?

Cdlt

Posté par
mdr_nonre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 17:25

bonsoir : )

Un peu succint comme corrigé.
Il faudrait montrer que la famille (u_1 , u_2 , u_3) est bien une base de \R^3 mais oui elle l'est effectivement.

1) Commence par calculer f(u).
2) De l'image de u que peux-tu dire sur \mathrm{Im} f ?
3) Et donc, que dire de \ker f ?

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 17:33

Bonsoir,

En approfondissant leur corrigé, j'ai calculer Ker f qui me donne (1,0,1) du coup je vois pourquoi ils mettent Vect (u3) puisque u3=(1,0,1).

Pour la base de Im f de par contre je suis plus perplexe.... Je cacule la dimension de Im f je trouve 2, je calcule Im f je trouve (3,-1,1), (1,1,1) et (-3,1,-1). Sachant qu'il est de dimension 2 je dois en prendre deux qui forme une famille libre c'est ça ?

Est ce que c'est pour ça qu'ils ont mis leur corrigé comme ça ? Car oui je le trouve tres succinct moi aussi...

Posté par
mdr_nonre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 17:40

Comment ça tu as calculé \ker f ?

Tu trouves que le vecteur (1 , 0 , 1) est dans \ker f, donc ça colle bien à ton corrigé qui dit que \ker f = \mathrm{Vect} (u_3), où est le problème ?

Ecris les détails.

Citation :
je calcule Im f je trouve (3,-1,1), (1,1,1) et (-3,1,-1). Sachant qu'il est de dimension 2 je dois en prendre deux qui forme une famille libre c'est ça ?
Oui.
Ensuite clairement, deux des vecteurs que tu as écrit sont colinéaires.

Citation :
Est ce que c'est pour ça qu'ils ont mis leur corrigé comme ça ?
Le corrigé adopte une autre démarche que je t'ai découpé en 3) points dans mon précédent message.

Si tu suivais les trois points en réfléchissant dessus tu comprendras ton corrigé.

Toi tu as suivi une autre démarche plus classique qui consiste à déterminer le noyau avec un système d'équations, etc.

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 18:04

Je n'ai aucun soucis pour Ker f.

Et pour Im f (3,-1,1) et (-3,1,-1) sont colineaires du coup il faut prendre (1,1,1) et un des deux qui reste. Par exemple, (3,-1,1).

Du coup pour Imf on a Vect (u1) car u1 = (1,1,1) mais je ne vois par le rapport entre u2 et (3,-1,1) voila, cdlt.

Posté par
mdr_nonre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 18:23

Ce que tu écris n'est pas trop cohérent.

*** Tu dis que l'image de f a pour dimension 2. Donc une base de f contiendra obligatoirement deux vecteurs (non colinéaires).
Ainsi, déduire que \mathrm{Im} f = \mathrm{Vect}(u_1) est, tu le conviendras, totalement incohérent. (Tu disais pourtant plus haut qu'il fallait choisir deux vecteurs non colinéaires parmis les trois que tu as trouvés.)

*** Tu sembles ne pas comprendre ce que signifie \mathrm{Vect} ?
Comment est définie \mathrm{Vect} (A) ? Avec A une partie d'un ev.
En répondant à cette question tu comprendras pourquoi la famille ((3 , -1 , 1) , (1 , 1 ,1)) et la famille (u_1 , u_2) engendrent le même sev.

*** Rédige quand même comment tu as fait pour \ker f on pourra déjà corriger des erreurs.

Posté par
flightre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:02

salut

pour kerf tu resouds le systeme

M.X=0   avec X un vecteur colonne de la forme (x,y,z) à trouver  , ce qui donne  
3x+y-3z=0
-x+y+z=0
x+y-z=0

en addtionnant les deux dernieres équations on a  
3x+y-3z=0
2y=0  --> y =0  du coup il reste :
3x-3z=0   soit x=z

du coup X(x,y,z)=(x,0,x)=x(1,0,1)   et kerf est représenté par "une droite vectorielle"
portée par tout vecteur colineaire à (1,0,1)
et donc kerf(=vect{(1,0,1)}
j'espere que ma redaction sera correcte ...

Posté par
flightre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:07

Imf = vect((3,-1,1);(1,1,1);(-3,1,-1))  

le rang de la matrice donnée qui est = 2 permet d'obtenir la dimension d'une  base de imf en choisissant pour ca 2 vecteurs non colineaires comme par exemple (3,-1,1) et (1,1,1)  
une base de Imf serait donc composée des vecteur  (3,-1,1) et (1,1,1)
avec mes mots

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:07

Si j'ai dit que je prenais (1,1,1) et un de ceux qui reste par exemple je prend (3,-1,1). Du coup j'ai deux vecteurs. Je vois pas où est le soucis ici.

Pour Vect (A) je comprendspeut etre  pas à 100% mais il me semble que Vect (A) sont les vecteurs engendrés par A. Par exemple si on prend vect(u2) on as (x,-x) or nous on souhaiterais (x,-x,x) c'est ça qui me trouble.

Et pour ker f j'ai résolu le systeme suivant :

\begin{cases} & \text{ } 3x +y -3z=0 \\ & \text{ } -x+y +z =0 \\ & \text{ } x+y -z=0 \end{cases}

Je ne penses pas avoir eu de soucis pour ça.

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:10

Oui flight je suis tout à fait d'accords avec toi partout, au final desormais ma question c'est pourquoi ils associent u2 = 1,-1,0 à 3,-1,1 voilà, merci encore à vous deux.

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:13

C'est parce qu'on a ax, -bx, cx avec  a=3, b=1, et c=0 dans le premier cas et a=1, b =1, c=1 dans le second qui du coup ont la meme "famille" de vecteur ?

Question idiote, mais à force de bosser, j'ai la fumée qui sors du cerveau ^^

Posté par
mdr_nonre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:32

Citation :
Si j'ai dit que je prenais (1,1,1) et un de ceux qui reste par exemple je prend (3,-1,1). Du coup j'ai deux vecteurs. Je vois pas où est le soucis ici.
Il faut te relire, qu'as-tu donc écrit ici :

Citation :
Du coup pour Imf on a Vect (u1) car u1 = (1,1,1) mais je ne vois par le rapport entre u2 et (3,-1,1) voila, cdlt.
?


Citation :
Pour Vect (A) je comprendspeut etre  pas à 100% mais il me semble que Vect (A) sont les vecteurs engendrés par A.
\mathrm{Vect}(A) est le sous-espace vectoriel (un ensemble de vecteurs) engendré par A.

\mathrm{Vect}(A) représente l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ecrit autrement, pour A = (u_1 , ... , u_n) une famille finie de vecteurs d'un \K-ev, \mathrm{Vect}(u_1 , ... , u_n) = \left\{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i / \lambda_1, ..., \lambda_n \in \K\right\}

***
Citation :
Par exemple si on prend vect(u2) on as (x,-x) or nous on souhaiterais (x,-x,x) c'est ça qui me trouble.
Ca c'est n'importe quoi, je ne comprends pas. En tout cas plus haut je t'ai écrit ce que signifie \mathrm{Vect}(A).

***
Citation :
Et pour ker f j'ai résolu le systeme suivant :

\begin{cases} & \text{ } 3x +y -3z=0 \\ & \text{ } -x+y +z =0 \\ & \text{ } x+y -z=0 \end{cases}
Oui je l'ai bien compris, mais je t'ai demandé de le rédiger complètement pour comprendre pourquoi on a bien \mathrm{Vect}((1 , 0 , 1)) mais si tu ne veux pas le faire tant pis.

***

Nous avons que (3 , -1 , 1) = (1 , 1 , 1) + 2(1 , -1 , 0) = u_1 + 2u_2 d'où \mathrm{Vect}(u_1 , (3 , -1 , 1)) = \mathrm{Vect}(u_1 , u_1 + 2u_2) = \mathrm{Vect}(u_1 , u_2)

***

Bon, ensuite je ne comprends pas trop ton comportement. Tu veux comprendre ton corrigé ou juste rester sur ta façon de faire ?

Posté par
etniopalre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 19:52

dim(Ker(f)) 1 car  Ker(f)   .u3
  dim(Im(f)) 2 car Im(f)   .u1  +  .u2
et (cours)  dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = 2
entrainent  que    dim(Ker(f)) = 1 et dim(Im(f)) = 2  

donc (cours)
Ker(f) = .u3 et Im(f) = .u1  +  .u2

Posté par
flap1847re : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 23:03

Mais je l'ai fait mais sur ma feuille, je sais le faire, et vu que vous m'avez dit que c'était bon je ne vois pas pourquoi il faut que je le refasse ici, vu que j'ai répondu a ma premiere question de base qui était de comprendre mon corrigé.

Pour le second point, j'ai eu plus de mal, mais vos informations m'ont permis de comprendre la deuxieme partie du corrigé du coup, je vous remercie de votre aide mais je voulais pas ensuite vous embeter plus longtemps c'est tout, vu que vous m'avez apportez toutes les informations à mes questions.... Merci à vous

Posté par
lafol Moderateurre : matrice, noyau, image, base 14-06-16 à 23:17

bonsoir

flap1847 @ 14-06-2016 à 17:16

Bonjour,

Je suis actuellement en train de revoir certaine notion que j'ai vu cette année, et en regardant une correction je n'arrive pas à comprendre la réponse donnée, si vous pouviez m'aider à completer cette correction ça serait gentil.

Voici le sujet :


Soit la matrice
M = 3 1 -3
-1 1 1
1 1 -1

Soit f l'application linéaire de R3 dans lui-même dont la matrice dans la base canonique de R3 est égale à M. On considère les vecteurs u1 = (1,1,1), u2 = (1,−1,0) et u3 = (1,0,1) dans R3.

La question : Déterminer une base de ker f et de Im f.

Comme réponse ils donnent ceci :
"En travaillant dans la base ( u1, u2, u3), on voit que l'image du vecteur u = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 est égale à x1 u1 +2x2 u2, d'où l'on déduit que :
ker f = Vect{ u3}
Im f = Vect{ u1, u2}"


J'ai l'impression que tu n'as pas lu ce qui est en rouge
ça montre clairement que Im f est contenu dans Vect(u1,u2), et tout aussi clairement que f(u) = 0 revient à x1 = x2 = 0, donc que Ker f = Vect(u3)
les considérations sur les dimensions et la formule du rang font le reste


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