Bonsoir,
tu parles sans doute de matrices à coefficients réels.
La matrice A^tA est symétrique, donc diagonalisable avec une matrice de passage orthogonale.
J'ai l'impression que ça doit suffire pour conclure.

bonsoir
la diagonalisation ne fait pas partie de notre cours de 1ere année, ainsi je ne pense pas que ça soit la méthode voulu, toutefois cet exo fait partie du cours sur les espaces euclidiens , ainsi j.ai pense au produit scalaire (A|B) = Tr(AB) , mais ca ne m'a pas trop avance .
merci

Bonjour,

Cela peut-être vous aider :
si C existe on a aussi C=BA^-1 car A est inversible.

en plus j'ai remarqué que
B^-1AA^t (B^-1)^t=B^-1BB^t(B^-1)^t

or(B^-1)^t=(B^t)^-1


donc B^-1AA^t (B^-1)^t=id

et B^-1AA^t (B^t)^-1=id

bonjour
phyelec78 j'ai l'impression d'avoir reussi la premiere question , c'est plutot la deuxieme qui me pose probleme, celle ou on considere des matrices quelconques , pas forcement inversible et ne verifiant pas aussi (*)

alors cela peut peut-être vous aider :
F=A^tA est une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral,F est orthogonale.

même raisonnement pour B.

Bonjour,

phyelec78 : une matrice symétrique n'est pas orthogonale en général.

Yosh2 : tel qu'il est posé l'énoncé est faux.
La bonne hypothèse est et pas ( désignant la transposée de ).

Le résultat demandé est facile à démontrer quand la matrice A est inversible puisque la matrice est unique, elle vaut nécessairement (on vérifie avec la bonne hypothèse que est orthogonale).

Le cas où n'est pas inversible est bien plus compliqué. Je propose une démonstration :

1) Soit une BON de adaptée à .
Pour on a et si est une base de alors est une base de (on montre que c'est une famille libre).

2) Pour on pose . On vérifie que .On peut donc compléter pour former une autre BON de : .

3) On définit la matrice par : c'est une matrice orthogonale. De plus:
pour ,
pour , et puisque .
On a donc .

@Jandri, Oups vous avez raison,une matrice symétrique n'est pas orthogonale en général. merci de l'avoir signalé.