salut

prend Y =(y_i,j) et calcule YD et DY

le fait que Y soit positive intervient quand tu prends la racine carrée car 2 nombres opposés ont même carré

... et pas pour prouver que Y est diagonale....

Bonsoir Carpediem,

C'est justement ce que j'ai fait; ce calcul nous donne ce qui ne nous permet absolument pas de conclure que Y est diagonale puisque et ne sont pas forcément différents.
Je ne vois pas ce qu'il faut faire d'autre.

Merci pour ta réponse,

Wacker.

Bonsoir,

Oui tu as raison, la commutation de A avec une matrice diagonale D (même à coefficients positifs ou nuls) n'entraîne pas que A est diagonale : il n'y a qu'à prendre D=I_n pour s'en convaincre.

Es tu sûr qu'on ne dit pas que Y est symétrique dans l'énoncé ?

Bonsoir GaBuZoMeu,

Si, si, grave omission de ma part, Y est une matrice symétrique positive (lorsque j'écrivais mon message, je cherchais à faire le symbole Sn+ des matrices symétriques positives mais ne le trouvant pas... et paf ).
En quoi cela peut-il nous aider à conclure?

Je vous remercie,

Wacker.

D'ailleurs, en regardant à l'instant mon énoncé, on peut lire:

Citation :
On dit qu'une matrice A est positive si elle est symétrique et si <AX,X>0 pour tout X de

ha enfin il me semblait qu'il manquait qq chose et c'est ce à quoi je pensais....
ça me rassure un peu parce que je ne voyais rien du tout....

merci ...

Une matrice symétrique est diagonalisable...

(sous-entendu : réelle)

Oui, mais il faut montrer que Y est diagonale, pas seulement diagonalisable.

Oui bien sûr, je ne dis pas le contraire. Mais le fait que Y est diagonalisable (et à valeurs propres positives ou nulles, c'est important) joue un rôle important.

J'ai beau me creuser les méninges, je n'arrive pas (depuis le début) à mettre en relation l'aspect positif de la matrice (valeurs propres positives ou nulles) et le fait qu'elle commute avec une matrice diagonale. :/
Je passe sûrement à côté de quelque chose.

Montre que le sous-espace propre associé à la valeur propre pour Y est égal au sous-espace propre associé à la valeur propre pour D. (Si tu n'utilises pas la positivité de Y pour ça, c'est que tu t'es trompé).

Je planifie:
-Soit X un vecteur propre de Y associé à la valeur propre (les valeurs propres de Y sont positives ou nulles puisque Y est symétrique positive).
puis i.e ce qui prouve la première inclusion.
-Soit X un vecteur propre de D associé à la valeur propre b
Notons tout d'abord que les valeurs propres de D sont positives ou nulles puisque, avec une matrice symétrique B et une matrice orthogonale P (spectrale dixit) on a .
On a:

On distingue alors deux cas:
>Si b=0, multiplions à gauche par pour obtenir puis et YX=0 ce qui montre que 0 est valeur propre de Y et que X appartient à son sous-espace propre associé.
>Si b>0, s'écrit puis puisque les deux matrices commutent. Comme les valeurs propres de Y sont positives ou nulles, n'est pas valeur propre de Y et est inversible d'où i.e. valeur propre de Y et X appartient au sous-espace propre associé.
Cela achève la seconde inclusion.

Conclusion: on a bien l'égalité.


C'est peut-être l'heure tardive qui me désoriente, mais pourriez-vous me souffler le petit pas de plus à franchir pour aboutir à Y diagonale? Je ne vois décidément pas :s

Je vous remercie pour votre aide!

Non, je ne vais pas te le souffler. Je ne doute pas que tu y arriveras, si tu réfléchis à ce que sont les sous-espaces propres d'une matrice diagonale.

Bonjour GaBuZoMeu,

J'ai préféré aller me coucher hier soir histoire de reprendre tout ça avec un peu plus de lucidité.
Voilà ce que je propose donc:
Pour une matrice diagonale réelle, les sous-espaces propres ne sont autres qu'une sous-famille de la base canonique de dont la concaténation nous redonne la base canonique de .
Or, comme D et Y ont les mêmes espaces propres, on en déduit que les vecteurs de la base canonique de sont des vecteurs propres pour Y puisqu'ils le sont pour D qui est diagonale. Dès lors, en notant (où les sont les valeurs propres de Y) et P la matrice de passage de à (où désigne la base canonique de ), on obtient et donc .
Mon raisonnement est-il correct?
Sinon, la rédaction de la correction que j'avais sous les yeux semble un peu violente, non?

Je vous remercie encore!

Wacker.

P.S.: erratum dans mon précédent message, on pouvait lire "une matrice symétrique B" alors qu'il fallait lire "une matrice diagonale B".

L'idée y est, mais c'est assez mal dit : un sous-espace propre n'est pas une famille de vecteurs, et après il n'y a aucun besoin d'introduire cette matrice de passage !

Je dirais les choses comme ça : puisque D est diagonale, les vecteurs de la base canonique sont des vecteurs propres pour D. Or on a vu que les sous-espaces propres pour D sont égaux aux sous-espaces propres pour Y. Donc les vecteurs de la base canonique sont des vecteurs propres pour Y, ce qui signifie que Y est diagonale.

Non seulement la correction est violente, mais elle est fausse (le résultat n'est pas faux bien entendu, mais le seul argument avancé est un argument faux).

Merci encore .

Bonne fin d'après-midi à vous.