Bonjour ! j'ai quelque difficultés à comprendre certains point :
Dans ce problème n désigne un entier non nul;
On dit qu'une matrice A de Mn() qu'elle est pseudo-inversible si il existe une matrice B dans Mn(
) telle que
On dit alors que B est une pseudo-inverse de A
1) Soit A une matrice appartenant a Mn(), pseudo-inversible ainsi que B1 et B2 deux pseudo-inverses de A
a) En calculant AB1AB2 de deux façons différentes montrer que AB1=AB2
J'ai fais :
AB1AB2= AB2=B2A par la propriété 2 et 1
De meme AB1AB2=AB1 par la propriété 3
Donc AB1=AB2
b) déduire que B1=B2
En composant par A-1 par la gauche on obtient l'égalité voulu à condition que A soit inversible
Ainsi la matrice A admet une unique pseudo-inverse appelée la pseudo inverse de A et est notée A*(A étoile)
2)
a) Montrer que la matrice nulle d'ordre n est pseudo-inversible et déterminer sa pseudo-inverse. La matrice nulle est-elle inversible ?
b)Soit M= montrer que M est pseudo-inversible et que M*=M
Je n'ai pas vraiment d'idée qui pourrait marcher pour les 2 dernières, j'ai pensé à calculer directement les 3 propriétés avec la matrice nulle pour montrer qu'elle est pseudo-inversible et qu'elle vérifie ces propriétés justement
salut
Je m'en doutais mais bon, c'est que c'est 2 B totalement différent et donc qu'on ne peut pas l'appliquer ?
on peut le faire ... mais correctement !!!
je note B et C ...
ABAC = AC d'une part
ABAC = ABCA = BACA = BA = AB d'autre part
...
au passage : une drôle de dénomination que de parler de matrice pseudo-inversible ...
Ok alors j'ai
AB1AB2=(AB1A)B2=AB2 par la prop (2)
Et puis j'ai AB1AB2=(AB1)(AB2)=(B1A)(B2A)=B1(AB2A)=B1A avec les autres prop
D'ou AB1=AB2
Mais du coup la question suivante elle ne tient que sur 3 lignes ?
J'ai que B1=B1AB1=(B1A)B1=B2AB1=B2AB2=B2
je ne vois même qu'une ligne !!
dans ton msg d'avant il manque encore qq chose à la troisième ligne ... à la fin ...
Pour montrer que la matrice nulle est pseudo-inversible je n'y arrive pas,
Je pars d'une matrice A qui est la matrice nulle appartenant a Mn(), et B une matrice dans Mn(
),
Du coup AB=On(enfin 0, ça donne aussi une matrice nulle)=BA
ABA=A=On
Et la derniere ne marche pas, BAB=OnB
Bonsoir
29-12-18 à 17:41 est correct.
Par contre la réponse proposée à la q1b dans votre premier post est une aberration ! Bien sûr que c'est valable si A est inversible, mais qui a dit que c'était le cas ici ?
Mais la matrice nulle n'est pas inversible mais elle possède un pseudo-inverse hmm
Du coup j'ai juste une question, n'importe quelle matrice inversible possède aussi une pseudo-matrice ? si oui comment par exemple avec une matrice quelconque on arrive à déterminer cette pseudo-inverse ? parceque ici on a juste vu la définition de ce que c'est mais j'ai pas encore manipuler pour un cas particulier (sans compter la question 2.b qui marche si M=M*) j'aimerais juste un autre exemple s'il vous plait !
Oui, et puis dans le fond, est-ce si contre-intuitif que cela que la pseudo-inversibilité est plus faible que l'inversibilité ?...
Vous vous posez de bonnes questions mais vous êtes un peu flemmard, à mon avis vous pouvez y répondre par vous-même
Pour déterminer pratiquement un pseudo-inverse sur un exemple concret pas trop simple, a priori c'est pas trivial du tout et pourrait faire l'objet d'un problème entier.
Là en q2b on vous demande juste de montrer que ça marche... y a rien à faire pratiquement.
J'ai essayer mais je ne vois pas vraiment, j'ai pris une matrice carré 3x3 quelconque, avec la matrice identité comme pseudo-inverse mais ça ne marche que pour la propriété (1), du coup mon seule soucis c'est que je ne sais pas comment trouver la pseudo-inverse d'une matrice !!
à la rigueur, raisonner par condition nécessaire... ça n'aboutira probablement pas mais au moins ce sera élégant !
Ce n'est pas ce que l'on vous demande. On parle d'une matrice inversible... et vous relirez mes messages, mais justement, si on prend une matrice quelconque, exhiber un algorithme pour pouvoir dire si elle est ou non pseudo-inversible ne me semble pas du tout évident.
Vous pouvez donc répondre à cette question (triviale !).
Essayez de comprendre l'esprit de l'exercice : il n'y a pas de lien direct entre b et c ; dans c on montre que inversible => pseudo-inversible, et dans b on montre que la réciproque est fausse (par exemple la mat nulle est pseudo-inversible mais n'est pas inversible).
Bonsoir,
pour un exemple, tu peux prendre .
Elle a un pseudo-inverse, comme toutes les matrices de projections.
Mais ce ne sont pas les seules.
Tu peux aussi regarder
Ok enfaite mon problème c'est que je n'arrive pas totalement à appréhender cette notion de pseudo-inverse,
est-ce que pseudo-inverse et inverse ça peut etre la meme chose ? parceque pour moi il faut, pour que les propriétés soient vérifiés que la pseudo-inverse SOIT la matrice inverse tout court
D'ou ma matrice de Mn(), si elle est inversible alors A*=A-1
Si la matrice A est inversible elle est pseudo-inversible et son pseudo-inverse est son inverse.
Il presque évident, en regardant la définition du pseudo-inverse, que l'inverse vérifie toutes les propriétés voulues.
La question ne se pose donc que pour les matrices non inversibles.
Ensuite tu peux essayer de regarder les exemples de matrices pseudo-inversibles que j'ai donné et essayer de déterminer leur(s) pseudo-inverse(s).
Tu peux aussi essayer de montrer que toutes les matrices associées à une projection sont pseudo-inversibles et qu'elles sont leur propre pseudo-inverse.
Bonsoir
le premier exemple de verdurin est dans l'énoncé, et ils fournissent complaisamment la pseudo-inverse : il n'y a que des vérifications à faire ....
Merci pour tous vos réponses ! par contre on a pas vu encore ce que c'est des projections avec les matrices
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