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Niveau Maths sup
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Matrice pseudo-inversible

Posté par
Weverne
29-12-18 à 16:57

Bonjour ! j'ai quelque difficultés à comprendre certains point :

Dans ce problème n désigne un entier non nul;

On dit qu'une matrice A de Mn() qu'elle est pseudo-inversible si il existe une matrice B dans Mn() telle que

\begin{cases} & \text AB=BA (1) \\ & \text ABA=A (2) \\ & \text BAB=B (3) \end{cases}

On dit alors que B est une pseudo-inverse de A

1) Soit A une matrice appartenant a Mn(), pseudo-inversible ainsi que B1 et B2 deux pseudo-inverses de A



a) En calculant AB1AB2 de deux façons différentes montrer que AB1=AB2

J'ai fais :

AB1AB2= AB2=B2A par la propriété 2 et 1
De meme AB1AB2=AB1 par la propriété 3
Donc AB1=AB2

b) déduire que B1=B2

En composant par A-1 par la gauche on obtient l'égalité voulu à condition que A soit inversible

Ainsi la matrice A admet une unique pseudo-inverse appelée la pseudo inverse de A et est notée A*(A étoile)

2)

a) Montrer que la matrice nulle d'ordre n est pseudo-inversible et déterminer sa pseudo-inverse. La matrice nulle est-elle inversible ?

b)Soit M=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} montrer que M est pseudo-inversible et que M*=M

Je n'ai pas vraiment d'idée qui pourrait marcher pour les 2 dernières, j'ai pensé à calculer directement les 3 propriétés avec la matrice nulle pour montrer qu'elle est pseudo-inversible et qu'elle vérifie ces propriétés justement

Posté par
carpediem
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:19

salut

Citation :
a) En calculant AB1AB2 de deux façons différentes montrer que AB1=AB2

J'ai fait :

AB1AB2= AB2=B2A par la propriété 2 et 1
De meme AB1AB2=AB1 par la propriété 3
Donc AB1=AB2
ne penses-tu pas qu'il y a un pb ?

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:29

Je m'en doutais mais bon, c'est que c'est 2 B totalement différent et donc qu'on ne peut pas l'appliquer ?

Posté par
carpediem
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:34

on peut le faire ... mais correctement !!!

je note B et C ...

ABAC = AC d'une part

ABAC = ABCA = BACA = BA = AB d'autre part

...

au passage : une drôle de dénomination  que de parler de matrice pseudo-inversible ...

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:41

Ok alors j'ai

AB1AB2=(AB1A)B2=AB2 par la prop (2)

Et puis j'ai AB1AB2=(AB1)(AB2)=(B1A)(B2A)=B1(AB2A)=B1A avec les autres prop

D'ou AB1=AB2

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:48

Mais du coup la question suivante elle ne tient que sur 3 lignes ?

J'ai que B1=B1AB1=(B1A)B1=B2AB1=B2AB2=B2

Posté par
carpediem
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:55

je ne vois même qu'une ligne !!

dans ton msg d'avant il manque encore qq chose à la troisième ligne ... à la fin ...

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 17:59

Celle avec AB1=AB2 ?

On avait AB2=B1A, avec la prop 1 on a AB2=AB1

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 18:07

Pour montrer que la matrice nulle est pseudo-inversible je n'y arrive pas,

Je pars d'une matrice A qui est la matrice nulle appartenant a Mn(), et B une matrice dans Mn(),

Du coup AB=On(enfin 0, ça donne aussi une matrice nulle)=BA

ABA=A=On

Et la derniere ne marche pas, BAB=OnB

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 18:52

Est-ce qu'il faut que nécéssairement Ici notre B soit aussi une matrice nulle ?

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:15

Bonsoir

29-12-18 à 17:41 est correct.

Par contre la réponse proposée à la q1b dans votre premier post est une aberration ! Bien sûr que c'est valable si A est inversible, mais qui a dit que c'était le cas ici ?

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:18

Weverne @ 29-12-2018 à 18:52

Est-ce qu'il faut que nécéssairement Ici notre B soit aussi une matrice nulle ?


Le "nécessairement" est assez déplacé puisque vous venez, à la question 1, de montrer que B est unique.
M'enfin, oui, la matrice nulle est clairement le pseudo-inverse d'elle-même...

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:44

Mais la matrice nulle n'est pas inversible mais elle possède un pseudo-inverse hmm

Du coup j'ai juste une question, n'importe quelle matrice inversible possède aussi une pseudo-matrice ? si oui comment par exemple avec une matrice quelconque on arrive à déterminer cette pseudo-inverse ? parceque ici on a juste vu la définition de ce que c'est mais j'ai pas encore manipuler pour un cas particulier (sans compter la question 2.b qui marche si M=M*) j'aimerais juste un autre exemple s'il vous plait !

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:46

Oui, et puis dans le fond, est-ce si contre-intuitif que cela que la pseudo-inversibilité est plus faible que l'inversibilité ?...

Vous vous posez de bonnes questions mais vous êtes un peu flemmard, à mon avis vous pouvez y répondre par vous-même

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:58

Pour déterminer pratiquement un pseudo-inverse sur un exemple concret pas trop simple, a priori c'est pas trivial du tout et pourrait faire l'objet d'un problème entier.

Là en q2b on vous demande juste de montrer que ça marche... y a rien à faire pratiquement.

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 19:58

J'ai essayer mais je ne vois pas vraiment, j'ai pris une matrice carré 3x3 quelconque, avec la matrice identité comme pseudo-inverse mais ça ne marche que pour la propriété (1), du coup mon seule soucis c'est que je ne sais pas comment trouver la pseudo-inverse d'une matrice !!

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:00

Bah ! si vous essayez avec des pseudo-inverses au hasard, autant jouer au loto.

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:00

à la rigueur, raisonner par condition nécessaire... ça n'aboutira probablement pas mais au moins ce sera élégant !

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:13

Citation :
Bah ! si vous essayez avec des pseudo-inverses au hasard, autant jouer au loto.


c'est amusant, enfaite c'etait plutot une autre derniere question que j'hésitais à mettre car je pensais y arriver en faisant d'abord ces premières questions ...

c) Montrer que toute matrice inversible de Mn() est pseudo-inversible et déterminer sa pseudo-inverse

D'ou justement mon problème ! J'ai vu que ça marchait meme si c'etait pas inversible(avec la matrice nulle) et pour un exemple particulier avec la matrice carré 2x2 mais je n'arrive pas à généraliser

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:17

Ce n'est pas ce que l'on vous demande. On parle d'une matrice inversible... et vous relirez mes messages, mais justement, si on prend une matrice quelconque, exhiber un algorithme pour pouvoir dire si elle est ou non pseudo-inversible ne me semble pas du tout évident.

Vous pouvez donc répondre à cette question (triviale !).

Posté par
Jezebeth
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:19

Essayez de comprendre l'esprit de l'exercice : il n'y a pas de lien direct entre b et c ; dans c on montre que inversible => pseudo-inversible, et dans b on montre que la réciproque est fausse (par exemple la mat nulle est pseudo-inversible mais n'est pas inversible).

Posté par
verdurin
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 20:21

Bonsoir,
pour un exemple, tu peux prendre  A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.

Elle a un pseudo-inverse, comme toutes les matrices de projections.

Mais ce ne sont pas les seules.

Tu peux aussi regarder A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 21:10

J'ai essayé des choses mais rien de concluant

est-ce qu'il y a un lien avec la diagonale et les 0 ?

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 21:18

Ok enfaite mon problème c'est que je n'arrive pas totalement à appréhender cette notion de pseudo-inverse,

est-ce que pseudo-inverse et inverse ça peut etre la meme chose ? parceque pour moi il faut, pour que les propriétés soient vérifiés que la pseudo-inverse SOIT la matrice inverse tout court

D'ou ma matrice de Mn(), si elle est inversible alors A*=A-1

Posté par
verdurin
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 22:07

Si la matrice A est inversible elle est pseudo-inversible et son pseudo-inverse est son inverse.
Il presque évident, en regardant la définition du pseudo-inverse, que l'inverse vérifie toutes les propriétés voulues.

La question ne se pose donc que pour les matrices non inversibles.

Ensuite tu peux essayer de regarder les exemples de matrices pseudo-inversibles que j'ai donné et essayer de déterminer leur(s) pseudo-inverse(s).

Tu peux aussi essayer de montrer que toutes les matrices associées à une projection sont pseudo-inversibles et qu'elles sont leur propre pseudo-inverse.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 22:26

Bonsoir
le premier exemple de verdurin est dans l'énoncé, et ils fournissent complaisamment la pseudo-inverse : il n'y a que des vérifications à faire ....

Posté par
verdurin
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 23:06

Yé,
je n'ai pas lu l'énoncé jusqu'au bout.
Merci lafol.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 23:08

ceci dit, ça peut mettre sur la piste de quoi tenter pour des projections en général

Posté par
Weverne
re : Matrice pseudo-inversible 29-12-18 à 23:43

Merci pour tous vos réponses ! par contre on a pas vu encore ce que c'est des projections avec les matrices

Posté par
carpediem
re : Matrice pseudo-inversible 30-12-18 à 09:00

Weverne @ 29-12-2018 à 21:18

Ok en fait mon problème c'est que je n'arrive pas totalement à appréhender cette notion de pseudo-inverse
il n'y a rien à appréhender du tout !!!

il y a une définition donnée dans l'énoncé :
Weverne @ 29-12-2018 à 16:57


On dit qu'une matrice A de Mn() qu'elle est pseudo-inversible si il existe une matrice B dans Mn() telle que

\begin{cases} & \text AB = BA (1) \\ & \text ABA = A (2) \\ & \text BAB = B (3) \end{cases}

On dit alors que B est une pseudo-inverse de A
epictou !!!


la première question montre l'unicité de B

ensuite les deux autres questions te demandent de montrer que deux matrices particulières sont pseudo-inversibles (la matrice nulle et une matrice de projection)

enfin la dernières question te demande de montrer qu'une matrice inversible est pseudo-inversible (la réciproque étant fausse d'après la question précédente)

et comme je l'ai dit cette expression de pseudo-inversible n'est pas la plus pertinente



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