Bonjour.

Décomposer une matrice M(n,p), c'est la décomposer en sous-matrices appelées blocs.
Exemple (simple) :



On décompose les 5 lignes en 3 + 2 et les 4 colonnes en 3 + 1, cela donne 4 blocs :



avec :









L'avantage fantastique est le suivant.
Soient M(n,p) et N(p,q) deux matrices. On peut naturellement effectuer leur produit classique, cela donnera MN(n,q).
Si l'on décompose M et N de telle sorte que le découpage des colonnes de M soit égal au découpage des lignes de N, le produit MN sera égal au produit par blocs. Ce produit par blocs s'effectue comme si les blocs étaient des éléments habituels, mais attention à l'ordre du produit car ici les blocs ne commutent pas comme les scalaires de base.

Un exemple très souvent utilisé.
Si M(n,p) et N(p,q), on garde les p colonnes de M et les p lignes de N (donc produit faisable). Puis, découpons les q colonnes de N en 1 + 1 +... + 1.
Ainsi, N s'écrit N = (C₁, C₂, ... , C_q) (décomposition en q colonnes).
Alors : MN = (MC₁, MC₂, ... , MC_q)

Autre exemple. Soit p un projecteur de E = Rⁿ, avec rg(p) = r, 0 < r < n.
Si (a₁, a₂, ... , a_r) est une base de Im(p) et (a_r+1, a_r+2, ... , a_n) une base de Ker(f), on aura sur la base B = (a₁, a₂, ... , a_n) de E :



A plus RR.