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matrice relative a une base

Posté par jacko78 (invité) 19-03-05 à 15:18

\textrm Determiner la matrice relativement a la base canonique de \mathbb{R}_n[x] de l'application lineaire f allant de \mathbb{R}_n[x] \\dans \mathbb{R}_n[x] telle que f(P)=XP'-3P. Est elle injective ? Est elle surjective ?

Voial je fais pas encore bien le lien entre la matrice et l'application linéaire, quelqu'un peut-il m'aider sur cet exo ?
Merci beaucoup

***Edit Nightmare***

Posté par titimarion (invité)re : matrice relative a une base 19-03-05 à 16:04

pour faire la matrice tu prends une base de Rn[X] comme (1,X,X²,...,X^n) et tu regardes son image par l'applicatiol linéaire qui t'ai donnée
f(1)=-3
f(X)=X-3X=-2X
f(X²)=2X²-3X²=-X^2 etc.
et ensuite tu n'as plus qu'a remplir ta matrice.

Posté par jacko78 (invité)re : matrice relative a une base 19-03-05 à 16:23

merci titimarion jessaye de ce pas et je te donne mon resultat pour verification si tu n'y vois pas d'inconvenients

Posté par jacko78 (invité)re : matrice relative a une base 19-03-05 à 16:47

On trouve pour commencer, quelque soit n entier naturel, f(X^n)=(n-3)X^n. On sait aussi qu'il s'agit d'une matrice carree d'ordre n+1 normalement mais je voulais savoir si je devais y faire figurer la colonne pleine de 0 qui est la colonne pour n=3 (cad la quatrieme colonne) ou non ? Sinon elle se remplit assez facilement, c'est une matrice diagonale mais comme je ne peux pas y faire figurer tous les chiffres je dirais que si on la nomme A, on a: A=(a_{ij}) avec i=1 a n+1 et j=1 a n+1 telle que : si i=j alors a_{ij}=i-4 et si i different de j alors a_{ij}=0
PS : j'aurais voulu avoir des i et des j allant de 0 a n pour plus de simplicité par rapport a la base mais c'est impossible je crois, non ?

Posté par jacko78 (invité)re : matrice relative a une base 19-03-05 à 17:25

J'ai aussi fait injective et surjective en etudiant la famille (f(1),f(X),f(X2),...,f(Xn)), est ce la bonne methode ici ? je pense que oui car on utilise alors la matrice A.
Je trouve que f n'est pas injective car cette derniere famille est liée en raison de f(X3) qui est le vecteur nul de n[X], et je trouve qu'elle est surjective car cette famille est génératrice dans n[X].

Posté par
franz
re : matrice relative a une base 19-03-05 à 21:36

Bonsoir jacko78

Il y a quelques imprécisions voire erreurs dans ce que tu écris.

Tout d'abord il faut bien faire figurer le 0 sur la diagonale.

Une matrice carrée traduit un endomorphisme par rapport à une base donnée.
Dnas ton cas la base est la base canonique  (1,X,X^2,\cdots,X^n)
Tout polynôme P de {\mathbb R}_n[X] s'écrit
P=a_0.1+a_1.X+a_2 X^2+\cdots+a_n.X^n
Comme f est une application linéaire
f(P)=f(a_0.1+a_1.X+a_2 X^2+\cdots+a_n.X^n)=a_0.f(1)+a_1.f(X)+a_2 f(X^2)+\cdots+a_n.f(X^n)

C'est pour cela que {\mathcal Im}(f)=Vect\<f(1),f(X),f(X^2),\cdots,f(X^n)\>
Il est essentiel d'écrire le 0 de la 4° colonne correspondant à X^3 sinon tu "perds" une dimension liée à la 4°coordonnée.

De ce fait la famille  \(f(X^i)\)_{i\in[[0,n]] est bien liée comme tu le mentionnes mais elle n'est pas génératrice car  X^3\notin Vect\(f(X^i\)_{i\in[[0,n]]}

Posté par jacko78 (invité)re : matrice relative a une base 19-03-05 à 22:44

d'accord merci a toi aussi franz pour ces informations tres precises, je comprend mon erreur sur la famille generatrice et il me paraissait egalement logique de garder la colonne de 0, désolé pour ces questions mais j'ai commencé le chapitre sur les matrices ce vendredi (hier), ce qui explique mes petites fautes, merci en tout cas, a bientot

Posté par
franz
re : matrice relative a une base 22-03-05 à 16:19

avec plaisir



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