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Matrice scalaire

Posté par
ferenc 10-11-11 à 12:36

Bonjour, on me dit que la base de l'espace des matrice scalaire (de taille n\times n) est de dimension 1 en considérant que la matrice la matrice unité est le seul vecteur de la base. Mais pourtant, en posant E_{ij} la matrice qui vaut 1 à la position (i,j) et 0 partout ailleurs, on a que I_n=\sum_{i=1}^{n}E_{ii}. Donc pour moi, la base de cet espace serait (E_{11},E_{22},...,E_{nn}) et il serait de dimension n.
Pourquoi n'est-ce pas le cas ?
merci

Posté par
carpediemre : Matrice scalaire 10-11-11 à 12:43

salut

"la base" ne veut rien dire ....

il serait bien d'avoir un énoncé complet de l'exercice sinon c'est incompréhensible ....

ensuite tu as simplement écrit que I est combinaison linéaire des Eij ....cela ne signifie pas que les Eij forment une base ..... sans énoncé complet ....

Posté par
ferencre : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:19

Ok, l'énoncé est:
Soit V=\{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})|A\ est\ une\ matrice\ scalaire\}.
a) Montrer que V est un sous espace de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).
b) Déterminer une base de V est en déduire sa dimension

-------------
Donc pour a) c'est bon !! Sauf, je me demande, en supposant que A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb C), on a A=(a_{ij}) et B=(b_{ij}).
La définition de A+B est A+B=(a_{ij}+b_{ij})=(a_{ij})+(b_{ij}) ou bien
A+B=(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij}) ?? Je sais que c'est la même chose, mais c'est juste pour une question de formalisme !! Merci !

Sinon pour b) On me dit comme je vous ai dit ci dessus !!

Posté par
LeHiboure : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:24

Bonjour,

Au-delà des excellentes remarques de carpediem, que je salue au passage, tu sembles méconnaître la définition d'une matrice scalaire : il y a des 0 partout sauf sur la première diagonale, et sur cette première diagonale tous les coefficients sont égaux. Une matrice scalaire n x n est donc de la forme In, d'où ton résultat.

Posté par
ferencre : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:30

Certes, mais ça n'empêche que \lambda I_n=\lambda\sum_{i=1}^{n}E_{ii} et non seulement la liste \{E_{11},...,E_{nn}\} génère V mais en plus elle est libre, non ?

Posté par
ferencre : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:31

D'où \{E_{11},...,E_{nn}\} une base de V d'où \dim V=n,
je me trompe ?? sûrement, mais je ne comprend pas pourquoi !!
merci

Posté par
jeansebre : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:42

Bonjour

matrice diagonale:

\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}= 2\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ 3 \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

base a 2 elements

matrice scalaire:

\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}= 2 \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = 2I_2

base a 1 element

C'est plus clair?

Posté par
ferencre : Matrice scalaire 10-11-11 à 13:50

Certes mais
\\ 2I_2=2\left(\begin{array}{cc} \\ 1&0\\ \\ 0&0 \\ \end{array}\right) +2\left(\begin{array}{cc} \\ 0&0\\ \\ 0&1 \\ \end{array}\right) \\

Désolé, je vous prie de ne pas vous énervé, mais j'ai un blocage !!!

Posté par
LeHiboure : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:00

Tout simplement, tes matrices

1 0      et    O O
0 0            0 1

ne sont pas elles-mêmes des matrices scalaires, donc elles ne peuvent pas servir de vecteurs pour une base de matrices scalaires !

Posté par
LeHiboure : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:01

Ou, dit autrement, une base de matrices scalaires est constituée de matrices scalaires...

Posté par
jeansebre : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:01

Oui, mais ta "base " est formée de 2 "vecteurs " qui ne sont pas dans l'espace vectoriel considéré: les matrices scalaires.

les matrices scalaires sont des multiples de l'identité.

Avec ta construction, tu fabriques toutes les matrices diagonales.

Posté par
LeHiboure : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:07

Bonjour jeanseb

Posté par
ferencre : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:11

Hé bien voilà une réponse extrêmement pertinente !!! YOUHHOOUOOUOUUU merci !!!

Posté par
LeHiboure : Matrice scalaire 10-11-11 à 14:25

YOUHHOOUOOUOUUU, c'est le cri du Hibou, ça ?
Tu trouveras quelques variantes ici

Posté par
jeansebre : Matrice scalaire 10-11-11 à 15:17

> Le Hibou: Bonjour

> ferenc (Puskas?):

Posté par
carpediemre : Matrice scalaire 10-11-11 à 17:01

merci LeHibou et salutations .... ainsi qu'à jeanseb .....


et merci d'avoir pris la suite ....

au dela de l'exercice espérons que ferenc aura tiré la substantifique moëlle de l'histoire ...... et n'aura pas l'air .... de faire le fenec


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