salut
Une matrice B est semblable à une matrice A si et seulement si il existe une matrice P inversible telle que B=P-1AP.

oui mais sinon ?

Bonsoir,

Y'a rien d'autres sinon, il faut y'aller bourrin

Bonsoir à tous

Il y a effectivement des critères mais comme le dit si bien Rouliane, c'est un peu bourrin, surtout si on n'a pas de chances et que les deux matrices en question aient même trace, même déterminant, etc..
Il existe ce que l'on appelle les invariants de similitudes :

voir ici :

Kaiser

cela dit, il me semble que ce n'est pas au programme de spé !

Kaiser

Bonjour,

une matrice est semblable à sa transposée par exemple.

Deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas necessairement semblables(pourtant ont même trace, déterminant et valeurs propres).

Exemple dans M2(R):

A=Id et B=(1 1;0 1)

Bonjour,

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mêmes invariants de similitude.
Les invariants de similitude d'une matrice M sont les facteurs invariants de la matrice  M - X.Id (qui est à coefficients dans K[X]).
Voir par exemple ici :
Ce n'est pas un sujet très facile.

Cordialement
Frenicle

Quand tes matrices sont diagonalisables(ou trigonalisables) et bien tu peux diagonaliser(ou trigonaliser) A et B et alors elles sont semblables si elles ont même forme diagonale(ou triangulaire).

Dans l'exemple que je t'ai donné B n'est pas diagonalisable par exemple(la dimension du sous-espace propre Ker(B-Id) est 1).

Ah oui, j'arrive encore après la bataille, moi !
Désolé

Bonjour,

cette question m'embêtait beaucoup l'année dernière L2, voici ce que j'ai pu constaté d'après des recherches :

D'abord on regarde la trace parce que c'est rapide, si elles sont différentes elles ne sont pas semblables.

Ensuite on regarde le rang, s'il est différent c'est perdu elles ne sont pas semblables.

Après on regarde le polynôme caractéristique si c'est différent, donc pas semblables.

Si elles sont nilpotentes on regarde l'indice de nilpotence, s'il est différent elles ne sont pas semblables.

On peut ensuite regarder la dimension des espaces propres, si c'est différent, toujours la même conclusion.

On peut trouver une forme de Jordan associée à chaque matrice. Si elles ont des formes de Jordan identiques à l'ordre près des blocs de Jordan elles sont semblables. (Ah ! tiens une CNS)

Si c'est des grosses matrices difficiles à jordaniser on peut supposer qu'elles sont semblables et chercher la matrice de passage de l'une dans l'autre.

Je crois que j'ai fait le tour, en général pour montrer si deux matrices sont semblables y a pas d'énormes calculs à faire ou alors s'il faut trouver les matrices de passage, elles ne sont pas très difficiles à avoir.

Mon prof m'avait aussi dit qu'il y a une autre CNS : invariants de similitude . mais il m'as dis que c'est pas simple ..

Voilà en espèrant que j'ai pu t'aider même un petit peu .

Cordialement.

oui merci tu as encore confirmé ce que je pensais. Pour ce qu'il en est de la jordanisation je ne l'ai pas vu. Par contre c'est bien d'avoir pensé a la nilpotence.

merci nassoufa

Un moyen de déterminer si deux matrices sont semblables est de les réduire, c'est-à-dire de les ramener à une forme type : diagonale, forme réduite de Jordan…

De rien FonKy- ce fut un plaisir ..

Bonjour
Après la bataille :pour Cauchy : attention avec la trigonalisation : il n'y a pas unicité de la matrice triangulaire d'une matrice trigonalisable .... difficile alors de comparer les triangulaires pour voir si les matrices de départ sont semblables

oui oui, j'y avais pensé en voyant ce qu'il avait écrit mais j'avais oublié  d'en parler, merci !