Bonsoir,

Si et sont tes matrices semblables, quel système linéaire vas-tu écrire ?

Bonjour
je préfèrerais "peut-on obtenir UNE matrice de passage"

A et B sont semblables donc il existe P inversible tq A=PBP^-1
je pose P=( a b c )
                       ( d e f )
                      ( g h i )
et en faisant les produits AP = PB , j'obtiens un systeme.
                      

Bonsoir lafol
je ne comprends pas tout a fait votre remarque , je sais que dans la definition des matrices semblables il ya un 'il existe' et non 'un unique ', mais je n'en ai pas rencontre jusqu'a present des cas avec de multiples matrices de passages. pouvez vous me donner un exemple ou il y aurait deux matrices de passages differentes?
merci

La question de l'unicité revient à se demander si, étant donné , il y a une unique matrice inversible telle que  . Si elle était unique, ce serait forcément l'identité. Or il y a beaucoup d'autres matrices inversibles qui vérifient cette égalité, par exemple tous les polynômes en inversibles.

Sinon, si tu as déjà vu la notion de valeurs et vecteurs propres, tu sais que tu peux constituer ta matrice de passage avec n'importe quel s vecteurs propres associés à chaque valeur propre , ça en fait plusieurs infinités ...

Bonjour
en effet je connais les valeurs et vecteurs propres , mais je ne comprends pas tout a fait votre propos lafol , parlez vous de la diagonalisation ?  
pouvez vous me donner un exemple concret ou on trouve une matrice de passage a partir de deux matrices semblables ?
merci

L'idée de Lafol est de mettre les matrices et sous forme réduite : forme réduite de Jordan (diagonale par blocs de Jordan) ou forme réduite de Frobenius (diagonale par blocs matrices compagnons des invariants de similitude).
Le propre de ces formes réduites est que deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont même forme réduite (éventuellement à permutation des blocs diagonaux près, mais ceci est sans importance). Si donc est la forme réduite commune des matrices semblables, on a et , d'où  .
Dans le cas où (et donc aussi ) est diagonalisable, la réduite de Jordan est tout simplement diagonale.