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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Matrice semi-définie positive

Posté par
Togodumnus
09-04-24 à 18:24

Bonjour,

Je travaille actuellement sur l'étude de l'élément suivant :

BSCR = \sqrt{\sum_{i = 1}^n \sum_{j=1}^n Corr_{i,j}SCR_iSCR_j
(SCR_i)_{1 \le i \le n} est un ensemble de variables strictement positives. De manière générale, on se place dans R_+^* dans le cadre de ce problème.

Je cherche à les caractériser la stabilité des dérivées de la fonction. Je note donc :

RA_{SCR_i} = \frac{\partial BSCR}{\partial SCR_i}

J'obtiens :

RA_{SCR_i} = \frac{SCR_i + \sum_{k \ne i} Corr_{i,k}SCR_k}{BSCR}

Puis je cherche à calculer :

\frac{\partial^2 BSCR}{\partial SCR_i \partial SCR_j}

Cela me donne (je vous passe les détails de calcul...)

\frac{\partial^2 BSCR}{\partial SCR_i \partial SCR_j} = \frac{Corr_{i,j} - RA_{SCR_i}RA_{SCR_j}}{BSCR}.

Je vois que la matrice (\frac{\partial^2 BSCR}{\partial SCR_i \partial SCR_j})_{1 \le i, j \le n} est symétrique, et je peux imaginer assez aisément qu'elle est semi-définie positive.

Je déroule donc :

(\frac{\partial^2 BSCR}{\partial SCR_i \partial SCR_j})_{1 \le i, j \le n} SDP \Longleftrightarrow (\frac{Corr_{i,j} - RA_{SCR_i}RA_{SCR_j}}{BSCR})_{1 \le i, j \le n} SDP \Longleftrightarrow (RA_{SCR_i}RA_{SCR_j})_{1 \le i, j \le n} SDP

Pour le coup, la matrice de corrélations est semi-définie positive, donc j'utilise l'idée que "la somme de deux matrices semi-définies positives est elle-même semi-définie positive".

Je pensais alors appliquer sur la dernière matrice le calcul des racines du polynôme caractéristique. En revanche, le problème est que :
- D'une part, n > 3 donc ça rend le calcul des racines du polynôme plus embêtant ;
- D'autre part, j'aimerais que la matrice reste générique, ou à la limite en déduire une CNS pour que la matrice soit semi-définie positive.

En le testant sur des valeurs réels, je vois que les valeurs propres de mes matrices sont toujours positives, donc je me dis que ça doit passer.

Y a-t-il un moyen pas trop pénible de le faire ? Sinon, je peux toujours faire l'applicatif via un code et passer un code pour retransformer la matrice en semi-définie positive mais c'est un peu pénible, j'aimerais avoir la propriété générale et j'y crois assez fort.

Merci d'avance,



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