Bonjour,

Je travaille actuellement sur l'étude de l'élément suivant :


où est un ensemble de variables strictement positives. De manière générale, on se place dans dans le cadre de ce problème.

Je cherche à les caractériser la stabilité des dérivées de la fonction. Je note donc :



J'obtiens :



Puis je cherche à calculer :



Cela me donne (je vous passe les détails de calcul...)

.

Je vois que la matrice est symétrique, et je peux imaginer assez aisément qu'elle est semi-définie positive.

Je déroule donc :



Pour le coup, la matrice de corrélations est semi-définie positive, donc j'utilise l'idée que "la somme de deux matrices semi-définies positives est elle-même semi-définie positive".

Je pensais alors appliquer sur la dernière matrice le calcul des racines du polynôme caractéristique. En revanche, le problème est que :
- D'une part, n > 3 donc ça rend le calcul des racines du polynôme plus embêtant ;
- D'autre part, j'aimerais que la matrice reste générique, ou à la limite en déduire une CNS pour que la matrice soit semi-définie positive.

En le testant sur des valeurs réels, je vois que les valeurs propres de mes matrices sont toujours positives, donc je me dis que ça doit passer.

Y a-t-il un moyen pas trop pénible de le faire ? Sinon, je peux toujours faire l'applicatif via un code et passer un code pour retransformer la matrice en semi-définie positive mais c'est un peu pénible, j'aimerais avoir la propriété générale et j'y crois assez fort.

Merci d'avance,