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Matrice / Sommes et produits

Posté par
Liliana27
02-01-24 à 11:36

Bonjour à tous ,

Voici l'énoncé de mon exercice. Je me suis arrêtée à la question 5.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller pour la question 6 s'il-vous-plaît ?


Considérons les matrices P et Q suivantes :        
P =  \begin{pmatrix} 1& 1& 1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1& 1 \end{pmatrix}

et Q = \frac{1}{4}\left(I+P \right)

où I = I3
1. Calculer P2 P Q, QP en fonction de P.

2. Calculer les produits (4I − P)Q et Q(4I − P). Qu'en concluez-vous pour la matrice Q ?

3. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe des réels an et bn tels que :

Qn = anI + bnP,

les suites (an) et (bn) vérifiant les relations de récurrence :

\begin{cases} & \text{ an+1} = \frac{1}{4} a_{n}\\ & \text{ bn+1 } = \frac{1}{4}a_{n} + b_{n} \end{cases}

avec a0 = 1 et b0 = 0.

4. En déduire an en fonction de n.

5. Justifier que pour tout entier n, non nul :

\sum_{k=0}^{n-1}{(b_{k-1}-b_{k}}) = b_{n}


6. En déduire que pour tout entier n : bn = \frac{1}{3} \left(1-\frac{1}{4^{n}} \right)


7. Donner alors l'expression, sous forme matricielle, de Qn en fonction de l'entier n.

8. On considère les suites réelles (xn)n∈N,(yn)n∈N  ,(zn)n∈N
, définies par :

\begin{cases} & \text{xn+1 } = \frac{1}{4} (2x_{n} + y_{n} + z_{n})\\ & \text{ yn+1 } = \frac{1}{4} (x_{n} + 2y_{n} + z_{n}) \\ & \text{ zn+1 } = \frac{1}{4} (x_{n} + y_{n} + 2z_{n}) \end{cases}


avec x0 = 1, y0 = z0 = 0

On pose alors : Un = \begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \end{pmatrix}


(a) Déterminer U0 et U1.
(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n : Un+1 = QUn.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n : Un = QnU0.
(d) En déduire l'écriture de xn, yn, zn en fonction de n, puis leur limite lorsque n tend vers plus l'infini.

Posté par
phyelec78
re : Matrice / Sommes et produits 02-01-24 à 12:10

Bonjour,

pour la question 5)
D'après votre énoncé,je pense k démarre à 1. Par contre je trouve -bn si je suis votre énoncé.

\sum_{k=1}^{n}(b_{k-1}-b_{k})
Je vous conseil de faire l'addition :
  on a :  
b_{0}-b_{1}  pour k=1
b_{1}-b_{2}  pour k=2
b_{2}-b_{3}  pour k=3
------------------------------------
-----------------------------------
b_{n-3}-b_{n-2}  pour k=n-2
b_{n-2}-b_{n-1}  pour k=n-1
b_{n-1}-b_{n}  pour k=n
____________________________________________
+ = b_{0}-b_{n}= -b_{n  

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 02-01-24 à 12:23

J'ai réussi à trouver bn pour la question 5, j'ai calculé la somme avec un téléscopage.

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 02-01-24 à 12:27

Par ailleurs, je n'ai pas réussi à répondre à la question 4

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 02-01-24 à 14:44

Je viens de réussir la question 4 finalement.

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 03-01-24 à 21:44

J'ai finalement réussi à faire l'intégralité des questions excepté la question 6.

Posté par
carpediem
re : Matrice / Sommes et produits 04-01-24 à 09:57

salut

je ne comprends pas trop les questions

(a_n) est la suite géométrique de premier terme a_0 = 1 et de raison 1/4 donc a_n = \dfrac 1 {4^n}

ensuite b_{n + 1} = \dfrac 1 4 a_n + b_n = a_{n + 1} +b_n \iff b_{n + 1} - b_n = a_{n + 1}

donc \sum_0^{n - 1} (b_{k + 1} - b_k) = b_n - b_0 = \sum_0^n a_{k + 1} (somme télescopique)

donc b_n = b_0 + \sum_0^n a_{k + 1} = b_0 + \dfrac 1 4 \sum_0^n a_k  

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 04-01-24 à 16:17

Merci pour réponse.
Je ne comprends pas comment à partir du résultat trouvé :

b_{n} = \frac{1}{4} \sum_{0}^{n}{a_{k}}

nous arrivons à montrer que :
b_{n}= \frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^{n}})

Posté par
Liliana27
re : Matrice / Sommes et produits 04-01-24 à 16:30

J'ai finalement réussi, il fallait simplement appliquer la formule d'une somme géométrique.

Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Matrice / Sommes et produits 04-01-24 à 17:18

de rien



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