C'est quoi ta définition de matrice symetrique définie positive ?

je peux travailler avec la définition matrice symetrique définie positive ssi les valeurs propres sont strictement positifs

Il suffit que les mineurs principaux dominants (ceux construits sur les k premières lignes et colonnes, pour k allant de 1 à la taille de la matrice) soient tous strictement positifs pour que la matrice symétrique soit définie positive.
Indication : on peut utiliser Gram-Schmidt.

Autre possibilité, en utilisant cette fois-ci tous les mineurs principaux (ceux construits sur des lignes et colonnes de même indice) : réaliser que les coefficients du polynôme caractéristique sont des sommes de mineurs, avec les signes qu'il faut ( -1 à la puissance la taille du mineur), et qu'en conséquence les racines (toutes réelles) du polynôme caractéristique sont strictement positives.

Pouvez vous préciser encore s'il vous plaît ? au début je voulais faire un raisonnement par récurrence et écrire la matrice de rang n sou forme de matrice par bloc contenant une matrice de rang n-1 pour appliquer l'hypothèse de récurrence mais je n'avance plus

Écoute, je te laisse y réfléchir un peu pour le moment.
Gram-Schmidt, ça te parle ?

PS. Gram-Schmidt, c'est effectivement l'idée d'une démonstration par récurrence. Maintenant, il est vrai que la notion de forme bilinéaire symétrique est derrière Gram-Schmidt.
Je trouve un peu bizarre de donner aux étudiants des exercices qui se traitent bien avec certains outils, en ne leur donnant pas les meilleurs outils pour les traiter.

Ton indication avec Gram-Schmidt m'a plutôt laisser à aller chercher un produit scalaire d'abord , vu que les matrices sont symetriques le produit scalaire est tXSX , mais je n'ai pas pu avancer

Une petite démo par récurrence  donne très vite le résultat:
Soit A symétrique définie positive et soit sa décomposition par blocs




  étant un bloc carré de taille n-1   et w  de taille  1  (donc w est un scalaire).

est aussi symétrique définie positive. Donc par hypothèse de récurrence     et puisque   il suffit de démontrer que  

Et cela vient de     pour tout U  de la forme



En effet   est un polynôme du second degré de la variable y...  je  te laisse finir c'est facile.  

Je ne comprends pas deux choses , la première vous avez dit au début " Soit A symétrique définie positive " et c'est ce qu'on veut démontrer , Pour A1 elle est symétrique définie positive par hypothèse de récurrence , mais je ne comprends pas comment vous avez fait pour avoir que

Je pense que vous montrez le sens direct , je l'avait fait ce sens  , c'est la réciproque qui me pose problème ^^'

Oui les mineurs principaux , oui je connais ce résultat je le démontre rapidement pour m'en servir , d'accord je vais essayer avec le polynome caracteristique merci

Rebonjour
Ha bon, il y a 2 sens donc le sens direct n'étant pas précisé.
Alors la réciproque c'est presque pareil que le sens direct.   Par récurrence avec les mêmes notations (et remarquer que w>0)  et   je prend ici  U qcq , i.e  


Alors  il faut montrer que pour tout X non nul  on a  


Hors ceci est minimum quand   et le minimum  est

Il faut donc démontrer que ce  minimum  est>0 ,   pour  tout X  mais il suffit de le faire pour tout     vecteur   propre de     que l'on suppose de norme 1  et on note   la valeur propre (qui est >0)  , i=1,...,n-1.  
Soit les coordonnées  de  B  dans la base
On sait que
  et on a bien

  

Où en es-tu, solida01 ?

GBZM Je n'ai pas trop avancé et j'ai laissé tombé malheureusement , je suis en deuxième année cpge , j'ai concours dans un mois je veux pas perdre deux jours avec un exercice :c

C'est dommage. C'est un bel exercice, et qui peut t'apprendre deux-trois petits trucs.

Je tente une relance. Comme tu le sais, le polynôme caractéristique de est . Quel est le coefficient de dans ce polynôme ? Pour , tu le sais sûrement : c'est l'opposé de la trace, c.-à-d. l'opposé de la somme des mineurs principaux d'ordre 1. Pour le terme constant, tu le sais aussi : c'est fois l'unique mineur principal d'ordre
Eh bien, le coefficient de , c'est fois la somme des mineurs principaux d'ordre . En effet, d'où viennent les ? Du choix de sur la diagonale ; et le coefficient qui va avec le ainsi obtenu, c'est fois le mineur d'ordre obtenu en supprimant les lignes et colonnes sur lesquelles on a choisi .

À partir de là, je te laisse terminer pour montrer que si tous les mineurs principaux sont strictement positifs, alors aucune valeur propre ne peut être négative ou nulle. Cette démonstration ne nécessite pas de récurrence. On peut faire des démonstrations par récurrence. XZ19 semble en faire une, mais j'avoue que je n'ai pas bien compris sa démonstration (je n'ai fait que la survoler).

Bonjour
Je me disais bien que mon dernier  message n'a pas été lu car un passage ( à la fin ) n'est pas justifié.  En fait la bonne démo la voici (  Tenir compte de mon message du  30-05 11:57  où on a  )  

Alors  on montre par récurrence il existe une matrice triangulaire inférieure C  dont les  éléments de la diagonale sont tous >0 et telle que A=CC^t.  Clairement ça montre que A est définie positive.
Pour n=1,  c'est évident.  On suppose la propriété vraie  pour n-1.  
Alors

Alors  il aisé  de vérifié  que la matrice   où   et    vérifie  A=CC^t  et  les conditions énoncées au début du message.
A est bien  sym. déf. pos.

remarque:   on utilise ici  que les déterminants  mineurs  principaux  (dominants)  positifs.    

D'accord, j'avais donc bien raison de ne pas comprendre ta démonstration plus haut XZ19. Et finalement, la démonstration par récurrence que tu viens d'écrire, c'est celle que je signalais en premier : l'orthogonalisation de Gram-Schmidt. Celle-ci, je la comprends.

Non cela n'a rien à voir avec le procédé d'orthonormalisation de  Gramm-Schmidt.  

Bien sûr que si, même si tu ne t'en es pas aperçu !
Puisque tu ne le vois pas je détaille.

En quoi consiste le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt ? On part d'une forme bilinéaire symétrique b (notons q la forme quadratique associée)  et d'une base . On fabrique une nouvelle base qui est -orthogonale  avec

Tu remarqueras que la matrice de changement de base est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.

La construction de la nouvelle base se fait par récurrence sur la dimension. Supposons qu'on soit arrivé à l'étape (en restriction à et soit la matrice de changement de base de la base à la base . Alors



où est diagonale, de diagonale strictement positive et est égal au mineur principal d'ordre de .
On prend alors , et en notant la matrice de changement de base de la base   à la base ( est toujours triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale) on obtient



où est le quotient du déterminant de par son mineur principal dominant d'ordre , donc .

Tu es maintenant convaincu que ce tu fais a tout à fait à voir avec Gram-Schmidt, ou faut-il que j'insiste ?

J'ai une question pour quoi vous dites " somme des mineurs principaux d'ordre k " , et ce qu'il y'en a pas seulement 1 seul ? Un mineur principal ce n'est pas le determinant de la matrice en gardant les coefficients par exemple Sij avec i et j varient dans [l1,kl] ?

Non, pour moi ce que tu écris est le mineur principal dominant d'ordre k.
Les mineurs principaux sont ceux construit sur des lignes et des colonnes de même indice. Il y a donc mineurs principaux d'ordre k.

J'avais pourtant bien pris soin de le préciser dans mon premier message. À croire que tu ne l'as pas lu ...

J'essaye de démontrer un truc mais je ne sais pas si c'est dur ou pas , je veux utiliser les relations coeffcients racines et raisonner par récurrence sur le degré du polynôme , mais ça paraît compliqué de contrer les multiples sigma ....

@XZ19 :

il dépend de k si k est pair ou impair non ? J'ai voulu utilisé la relation coefficient racine , puisque A est diagonalisable ( symétrique réelle ) sont polynôme est scindé , alors j'aurai une relation entre les valeurs propres et les coefficients qui sont la somme des mineurs

Non, je n'ai pas utilisé le procédé de  Gramm-Schmidt, comme tu le dis . Même si on peut y voir un lien. Mais je crois que tu vas perturber solidad01,  s'il essaye de comprendre les deux démonstrations qui sont  différentes.  

Ma démonstration est simple.  Par récurrence à partir de la factorisation je calcule directement la  factorisation à partir de celle supposée à l'étape n-1.  
La seule chose à voir et que j'ai utilisé    c'est  que
et ce deuxième facteur est >0  par hypothèse. La factorisation je l'ai donnée mais il s'agit d'une simple équation à résoudre.

Je pense qu'il aurait plus judicieux de dire qu'en procédant comme tu as fait,  on peut retrouver la factorisation   

XZ19 Je n'arrive pas à comprendre comment vous avez fait pour écrire que det(A)=det(A1)*det(w-....)  est ce par opération ligne colonne ? ce n'est pas trop évident , pour le calcul des determinants par blocs , à part si la matrice est triangulaire ( diagonal ) par bloc il n'y a pas vraiment un moyen direct de l'écrire comme vous avez fait

@XZ19 : bon, il semble que tu as vu le lien profond entre ce que tu proposes et Gram (un seul m) - Schmidt. C'est en fait une factorisation de Cholesky (les liens entre Cholesky et Gram-Schmidt sont d'ailleurs bien connus)

L'autre démonstration est, elle de nature différente (pas de récurrence, utilisation de tous les mineurs principaux.

@solida01

GBZM C'est très beau ça !!! Je vous remercie infiniment , vous êtes un sacré matheux

XZ19 Si vous pouvez m'expliquer le passage que j'ai mentionné dans mon message précédent s'il vous plaît , ça parait une bonne astuce à connnaitre

Avec mon portable ça va être difficile d'expliquer mais si tu connais la factorisation LU d'une matrice 2
Fois 2 c'est pareil par blocs, tu multiplies À à gauche par une matrice M Trang inf a diagonale unité pour obtenir U Triang sup
Puis Det À égal det U

ah d'accord merci