Bonsoir.

Si mes souvenires sont bons, il existe une démonstration plus simple par récurrence sur l'entier p.

Salut

Pour les vecteurs colonnes de M qu'est-ce que tu ne comprends pas?

Ensuite je pense qu'on a plutôt d'où le dernier résultat.

Cela dit je trouve cette démonstration compliquée.

C'est beaucoup plus simple en considèrant que

On développe la première matrice par rapport à la première ligne de façon itérée, on a clairement que son déterminant vaut det(C)
On développe la deuxième de façon itérée par rapport à la dernière ligne on obtient que son déterminant vaut det(A).

Bonsoir!

A titre de curiosité, une autre démonstration: B et C étant fixées, on considère l'application f:A->det(M). C'est une forme multilinéaire alternée, donc det(M)=k.det(A).
Pour calculer k, on prend A=I etc.

Bonjour à tous les trois

J'ai fini par comprendre la démo hier, mais je préfère de loin les vôtres ! Notamment celle de Jord qui est très simple.

rogerd > Tu peux développer un peu plus ?

Merci

Bonjour infophile
On fixe donc B et C et on considère l'application f définie par f(A)=det(M), qu'on voit comme une fonction des p variables que sont les p colonnes de A. Ces variables sont prises dans un espace de dimensions p. det(M) est linéaire par rapport à chacune de ses p premières colonnes donc f est multilinéaire . Quand on échange 2 des p premières colonnes de M, det(M) est changé en son opposé, donc la forme multilinéaire f est alternée. Or on sait que l'espace des formes multilinéaires alternées sur un espace de dimension p est de dimension 1,engendré par la forme déterminant.
Donc il existe une constante k telle que det(M)=k*det(A). Pour déterminer k, on prend une matrice A particulière; tout naturellement on prend A=Ip et en développant det(M) de façon réitérée par rapport à la première colonne, on trouve det(M)=det(C).
Cette démonstration est plutôt une curiosité.

D'accord merci rogerd