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matrice trigonalisable
salut,
pouriez vous m'expliquer la partie selectionnée
Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X].
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Démonstration
Supposons la matrice A, à coefficients dans K, semblable à la matrice triangulaire T. Le polynôme caractéristique de A est donc égal à celui de T, et ce dernier est scindé, ses racines étant les coefficients diagonaux de T.
La réciproque se démontre par récurrence sur la taille n de la matrice. Pour n = 1, c'est immédiat. Soit n > 1. Supposons l'assertion vraie jusqu'à n - 1 et soit A de taille n et de polynôme caractéristique PA(X) scindé. En choisissant une base dont le premier vecteur est propre pour A, on montre que A est semblable à une matrice de la forme
\begin{pmatrix}\lambda&L\\0&B\end{pmatrix}\quad{\rm donc}\quad P_A(X)=(X-\lambda)P_B(X)
merci
bonjour : )
Il s'agit de raisonner par récurrence, mais avec des matrices.
Soit un entier naturel , montrons que si le polynôme caractéristique de
, matrice carrée d'ordre n, est scindé alors
est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
Le cas est immédiat puisqu'une matrice (uni-)coefficient est triangulaire supérieure.
Supposons maintenant la propriété vraie pour un rang .
On note le polynôme caractéristique de
et
est scindé.
a au moins une racine qu'on peut noter
et celle-ci est une valeur propre de
. De plus, si on désigne par
un vecteur propre associé à
, par le théorème de complétion de la base, on parvient à compléter la famille formée de ce seul vecteur en une base de
de la forme
.
Ainsi, par changement de base vers , on parvient à représenter
par une nouvelle matrice, de la forme :
, et alors
avec
scindé.
Par hypothèse de récurrence, il vient qu'il existe une matrice telle que
soit triangulaire supérieure.
Si on pose alors son inverse existe et
et par produit par blocs :
est triangulaire supérieure.
Finalement, A est semblable à matrice triangulaire supérieure et la récurrence est établie.
Lire :
Ainsi, par changement de base vers
C'est quoi la définition de matrice (uni-)coefficient ??
je suppose que par convention la matrice (uni-)coefficient est triangulaire supérieure ???
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