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Matrices 1

Posté par
Aalleexx 26-10-19 à 17:41

Bonjour,
mon professeur de Maths m'a donné, sans correction, plusieurs exercices dont l'exercice ci-dessous que je n'arrive pas à faire l'exercice...

Exercice :

Soient les matrices A=(-2      -1      2)       et      P= (1   0   0)     de M3()
                                                  (-15   -6   11)                         (1   3   0)
                                                  (-14   -6   11)                         (2   2   1)


1) a) Déterminer la matrice N telle que T=I3+N. Calculer N2, N3 puis en déduire Nk pour tout entier k supérieur ou égal à 3.

1) b) Pour tout entier naturel n, exprimer Tn en fonction des matrices N et I3, et de n, puis en déduire la matrice Tn avec ses coefficients.

1) c) Montrer que PNP-1=A-I3 et en déduire que PN2P-1=A2-2A+I3.

1) d) Pour tout entier naturel n, exprimer An en fonction des matrices I3, A et A2, et de n.





[b]Pourquoi je n'arrive pas à faire l'exercice?
1) a). Je ne comprends pas d'où sort la matrice identité d'ordre 3. Je sais qu'il faut multiplier par quelques choses pour que cette matrice identité part et laisse le N seul mais je ne sais pas par quoi il faut multiplier.
.De ce fait je n'arrive pas à calculer les puissances 2, 3 et k.

1) b) Je n'ai malheureusement aucune idée pour cette question.

1) c) Je suppose qu'il faut utiliser la question précédente mais vu que je ne l'ai pas fait je ne sais pas comment fire cette exercice...

1)d) Je n'ai malheureusement aucune idée pour cette question également.

Posté par
Ulmierere : Matrices 1 26-10-19 à 17:49

Bonjour,

Si c'est là ton énoncé,  c'est normal que tu n'arrives à rien, puisque la matrice T tombe du ciel. C'est pourtant pas la saison

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 26-10-19 à 18:36

ah oui il y a un exercice au dessus que j'ai réussi mais  j'ai cru que c'était 2 exercices différents avec les même matrices désolé

du coup voici les informations supplémentaires des questions de l'autre exercices:
Question 1:  T = (1   1   2)
                                    (0   1   3)
                                    (0   0   1)

Question 2: P-1=(1            0      0)
                                      (-1/3   1/3   0)
                                      (-4/3    -2/3  1)


Question 3: A= PTP-1

Question 4: An=PTnP-1

Posté par
GxDre : Matrices 1 26-10-19 à 18:45

Bonjour,
Imaginez que T I et N soient des réels. A quoi serait égal N ?

Posté par
Ulmierere : Matrices 1 26-10-19 à 18:58

C'est plus clair maintenant !

a) Oublie que tu as des matrices. Si tu as x et que tu cherches y tel que x = 1+y. Que vaut y ?
b) N et Id communtent donc d'après la formule du ... T^n = (Id+N)^n = ...
c) Maintenant que tu as N, c'est du calcul pur et dur + le fait de savoir calculer (x-1)² pour tout x
d) Au b) tu as exprimé T^n mais tu sais que A^n = P.T^n.P^(-1). Par ailleurs, le fait que N soit nilpotente (question a) tu donne une relation fermée entre A, A^2 et A^3 et donc, d'exprimer A^n de manière plus simple

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 26-10-19 à 20:02

Du coup,

1) a) si c'est x=1+y pour trouver y je fais :y=x-1
donc N=T-I3?
si oui,
dont N= (0  1   2)
                   (0   0   3)
                   (0   0   0)
N2=(0  0   2)
                   (0   0   0)
                   (0   0   0)

N3=(0  0   0)
                   (0   0   0)
                   (0   0   0)

donc Nk= (0) pour tout entier k supérieur ou égal à 3.





1) b)N et Id communtent donc d'après la formule du binôme de Newton Tn = (Id+N)n =(au dessusn et en dessousk=0)    (kn) Idk * Nn-k

mais je ne sais pas quoi faire ensuite car la question est : Pour tout entier naturel n, exprimer Tn en fonction des matrices N et I3, et de n, puis en déduire la matrice Tn avec ses coefficients.




1) c)PNP-1= (-3   -1   2)
                        (-15   -7   11)
                        (-14   -6   10)


A-I3= -3   -1   2)
                        (-15   -7   11)
                        (-14   -6   10)

donc PNP-1=A-I3
Mais, ensuite, je ne sais pas comment on en déduit que  PN2P-1=A2-2A+I3.





1) d) je ne comprends malheureusement pas... Pouvez-vous me montrer?

Posté par
GxDre : Matrices 1 26-10-19 à 22:20

Bonjour,
Pour la question 1)a) c est bon a par une erreur de calcul pour N²
Pour 1)b) "exprimer Tn en fonction des matrices N et I3, et de n" ça c'est bon.
Après c'est presque fini.
A quoi est égal I3n?
Et sert toi également du résultat précédent sur N

Posté par
perroquetre : Matrices 1 26-10-19 à 22:20

Question 1b
Ton développement est correct et permet d'obtenir le résultat.
Mais ce sera plus simple à comprendre si on écrit plutôt:
T^n=(N+I_3)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} N^k I_3^{n-k}
Dans cette somme, il n'y a que trois termes non nuls correspondant à k=0,1,2 (puisque pour k\geq 3, N^k=0).

On a donc:    T^n = {n\choose 0} N^0+{n\choose 1}N+{n\choose 2} N^2
...

Question 1c
PN^2P^{-1}= (PNP^{-1})(PNP^{-1})=(A-I_3)(A-I_3)
...

Question 1d
Tu as établi que   A^n=PT^nP^{-1}
Tu as obtenu une expression de T^n en fonction de I_3,T,T^2,n
Cela te permet d'obtenir une expression de A^n en fonction de PI_3P^{-1}=I_3,    PNP^{-1}=A-I_3   et   PN^2P^{-1}=A^2-2A+I_3
...

Posté par
perroquetre : Matrices 1 26-10-19 à 22:22

Devancé.
Bonjour,  GxD  

Posté par
GxDre : Matrices 1 26-10-19 à 22:25

Bonjour Perroquet

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 26-10-19 à 22:59

Question 1)C):
(A-I3)(A-I3)=(A-I3)2=A2-2A+I3



Question 1)B)

perroquet @ 26-10-2019 à 22:20

Question 1b

On a donc:    T^n = {n\choose 0} N^0+{n\choose 1}N+{n\choose 2} N^2
...

Je comprends comment vous avez trouvé ceci mais je ne comprends pas comment on en déduit la matrice Tn avec ses coefficients. C'est quoi les coefficients?


Question 1)D)

perroquet @ 26-10-2019 à 22:20



Question 1d
Tu as établi que   A^n=PT^nP^{-1} (je comprends)

Tu as obtenu une expression de T^n en fonction de I_3,T,T^2,n (du coup c'est T^n = {n\choose 0} N^0+{n\choose 1}N+{n\choose 2} N^2???)

Cela te permet d'obtenir une expression de A^n en fonction de PI_3P^{-1}=I_3,    PNP^{-1}=A-I_3   et   PN^2P^{-1}=A^2-2A+I_3 ( à partir de là je ne comprends pas)
...(je ne sais pas la suite)

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 00:10

Question 1b
Les coefficients d'une matrice, ce sont ses éléments.
T^n= I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2
T^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} +n \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}  +\dfrac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
...

Question 1d
T^n = I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2
A^n=PT^nP^{-1}= P\left( I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2\right)P^{-1}
A^n=I_3+nPNP^{-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}PN^2P^{-1}
...

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 14:08

bonjour,
je suis désolé mais je ne comprends toujours pas ...

Question 1)B)
Comment on passe de ça ...

perroquet @ 26-10-2019 à 22:20

Question 1b
    T^n = {n\choose 0} N^0+{n\choose 1}N+{n\choose 2} N^2

à ça...
perroquet @ 27-10-2019 à 00:10

Question 1b
T^n= I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2


du coup je ne trouve toujours pas la suite de l'exercice... Vu qu'il faut trouver les élements de t^n il faut trouver une seule parenthèse non? du coup, faut-il développer nN et ((n(n-1))/2)N2? (ci dessous)
perroquet @ 27-10-2019 à 00:10

Question 1b
T^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} +n \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}  +\dfrac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}







Question 1)D)
du coup c'est :

A^n=I_3+A-I_3+\dfrac{n(n-1)}{2}+A^2-2A+I_3

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 15:38

Pour passer de    T^n = {n\choose 0} N^0+{n\choose 1}N+{n\choose 2} N^2
   à     T^n= I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2
, il suffit de remarquer que:
{n\choose 0}=1   ,    N^0=I_3   ,     {n\choose 1}=n    ,    {n\choose 2}=\dfrac{n(n-1)}{2}



Pour simplifier      T^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} +n \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}  +\dfrac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
, il suffit de savoir que:
\begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1,1} & y_{1,2} & y_{1,3} \\ y_{2,1} & y_{2,2} & y_{2,3} \\ y_{3,1} & y_{3,2} & y_{3,3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1,1}+y_{1,1} & x_{1,2}+y_{1,2} & x_{1,3}+y_{1,3} \\ x_{2,1}+y_{2,1} & x_{2,2}+y_{2,2} & x_{2,3}+y_{2,3} \\ x_{3,1}+y_{3,1}  & x_{3,2}+y_{3,2} & x_{3,3}+y_{3,3}\end{pmatrix}
\lambda \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda x_{1,1} &  \lambda x_{1,2} & \lambda x_{1,3} \\ \lambda x_{2,1} & \lambda x_{2,2} & \lambda x_{2,3} \\ \lambda x_{3,1} & \lambda x_{3,2} & \lambda x_{3,3}\end{pmatrix}


Enfin, l'expression de A^n  n'est pas   A^n=I_3+A-I_3+\dfrac{n(n-1)}{2}+A^2-2A+I_3,  mais:
A^n=I_3+ n(A-I_3)+\dfrac{n(n-1)}{2} \left(A^2-2A+I_3 \right)

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 16:31

Du coup pour la 1)B) le résultat est :


T^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n & 2n \\ 0 & 0 & 3n\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{6n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ensuite,

T^n=\begin{pmatrix} 1 & n & 2n \\ 0 & 1 & 3n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{6n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

enfin,

T^n=\begin{pmatrix} 1 & n & 12n(n-1) \\ 0 & 1 & 3n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}



Pour la question 1)d)

est-ce que l'on continue le calculer à partir de ça ?

perroquet @ 27-10-2019 à 15:38


Enfin, l'expression de A^n  n'est pas   A^n=I_3+A-I_3+\dfrac{n(n-1)}{2}+A^2-2A+I_3,  mais:
A^n=I_3+ n(A-I_3)+\dfrac{n(n-1)}{2} \left(A^2-2A+I_3 \right)


A^n=I_3+ n(A-I_3)+\dfrac{n(n-1)}{2} \left(A-I_3 \right)^2

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 18:55

Le terme situé sur la première ligne et la troisième colonne de T^n n'est pas égal à  12n(n-1).

En ce qui me concerne, j'écrirais plutôt A^n sous la forme
A^n = \alpha I_3+\beta A +\gamma A^2
\alpha,\beta,\gamma s'exprimant en fonction de n

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 19:20

Du coup pour la 1)B) le résultat est :


T^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n & 2n \\ 0 & 0 & 3n\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{3n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ensuite,

T^n=\begin{pmatrix} 1 & n & 2n \\ 0 & 1 & 3n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{3n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

enfin,

T^n=\begin{pmatrix} 1 & n & 6n(n-1) \\ 0 & 1 & 3n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}



Pour la question 1)d)

je ne comprends pas
A^n = \alpha I_3+\beta A +\gamma A^2
\alpha,\beta,\gamma s'exprimant en fonction de n (ce sont des termes ?)

Vous avez développé puis ensuite vous avez rassemblé les termes avec \alpha,\beta,\gamma ???

Si oui, vous avez développé comme ça ?

A^n=I_3+ nA-nI_3+\dfrac{n(n-1)}{2} \left(A^2-2A+I_3 \right)

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 21:31

Il reste encore une erreur dans le calcul de T^n.
2n+\dfrac{3n(n-1)}{2}  n'est pas égal à 6n(n-1)

En ce qui concerne le calcul de A^n:
A^n=\left(1-n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right) I_3 + ...

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 21:58

\dfrac{5n(n-1)}{2}  ( j'ai multiplié au lieu d'additionner)


A^n=\left(1-n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right) I_3 +  \left(n-\dfrac{2n(n-1)}{2}\right) A+   \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right) A^2      

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 22:02

Euh je me suis trompé....

Aalleexx @ 27-10-2019 à 21:58

\dfrac{7n(n-1)}{2}  

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 22:09

Pour T^n: non

Pour A^n: il faut simplifier les expressions à l'intérieur des parenthèses

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 22:14

De plus, j'ai un question:
Cela respecte-y-il l'ordre de calcul pour la matrice ?
Et, aussi, du coup, peut-t-on pour la question 1)b) T=I3+\alpha N+ \beta N^2 ?
\alpha, \beta s'exprimant en fonction de n.

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 22:40

Pour Tn:
\dfrac{4n+3n(n-1)}{2}  

Pour An:

A^n=\left(\dfrac{3n+n^2+2}{2}\right) I_3 +  \left(\dfrac{4n-2n^2}{2}\right) A+   \left(\dfrac{n^2-n}{2}\right) A^2      

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 22:48

Pour Tn:
\dfrac{n+3n^2}{2}  

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 23:04

Pour T^n:   oui

Pour A^n: il y a une petite faute dans le coefficient de I_3

Pour la question posée à 22h14: je ne la comprends pas.
les expressions qui ont été trouvées correspondent à ce qui a été demandé par l'énoncé, cela ne veut pas dire que ce sont les meilleures possibles.

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 27-10-19 à 23:21

Oui j'ai oublié le - :
A^n=\left(\dfrac{-3n+n^2+2}{2}\right) I_3 +  \left(\dfrac{4n-2n^2}{2}\right) A+   \left(\dfrac{n^2-n}{2}\right) A^2      

Du coup, on peut juste écrire ceci pour la question 1)d) ? (On est pas obligé d'écrire Avec alpha bêta et gamma ?)

Posté par
perroquetre : Matrices 1 27-10-19 à 23:33

L'expression obtenue est maintenant correcte   .
Et c'est le résultat attendu pour la question 1d.

Posté par
Aalleexxre : Matrices 1 28-10-19 à 11:19

Merci beaucoup pour votre aide @perroquet !


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