Bonjour.

Posons : M = AB - BA.
On sait que rg(M) = 1 signifie que l'on peut écrire M = U.(^tV), où U et V sont deux vecteurs colonnes non nuls.
Alors : M² = U.(^tV).U.(^tV) = U.(^tVU).^tV.
Or, ^tVU est un scalaire représentant tr(M), donc : M² = tr(M).M.
De plus, ici, tr(M) = tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = tr(AB) - tr(AB) = 0.
Donc, finalement, M² = O. (Rappelons que M = AB - BA, donc : (AB - BA)² = O).
Soit maintenant Y € Im(M), alors Y = MX.
Ceci donne : MY = M²X = 0, ce qui signifie que Y est élément de Ker(M).

Conclusion : Im(AB - BA) Ker(AB - BA).

A plus RR.

Bonjour

Soit C=AB-BA. Supposons que Im(C) n'est pas contenu dans ker(C). Comme Im(C) est de dimension 1, on a alors Im(C)Ker(C)={0}, et en tenant compte des dimensions, ils sont supplémentaires. Soit alors une base avec e₁ dans l'image et les autres dans le noyau. Par hypothèse, Ce₁=te₁ avec t0, donc Tr(C)=t. Or ceci est impossible puisque Tr(AB-BA)=0.

Bonjour raymond
Voici deux solutions très différentes!

Bonjour Camélia.

En effet, nos deux solutions, tout en considérant la même propriété de la trace nulle, sont de deux approches différentes. Cependant, je pense que la tienne est beaucoup plus adaptée à la situation. D'ailleurs, pour s'en convaincre, il suffit de regarder la longueur des deux messages.
C'est plus fort que moi, chaque fois que je vois rg(M) = 1, j'écris automatiquement M² = tr(M).M.

A plus RR.

Franchement, je ne sais pas si ma solution est plus adaptée; elle est plus courte, parceque je n'ai pas détaillé. D'autre part, comme en général pour une fonction de rang 1 la propriété demandée est fausse, il n'y avait pas beaucoup de choix pour la méthode...