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Matrices 2
Bonjour, j'aurais une question sur un exercice concernant les matrices.
Le voici:
Exercice 5 : Utilisation de M.M^-1 = M^-1.M = I
On a la matrice carrée A.
-111
1-11
11-1
A² = 2I - A
2) En déduire que A est inversible
3) Calculer A^-1
J'ai déjà réalisé l'exercice mais je trouve l'ordre de celui-ci étrange car il faudrait d'abord calculer A^-1 avant de répondre à la question 2 selon moi.
La correction proposée est la suivante:
2) On peut écrire : A² + A = 2I
On a donc A(1/2(A+I)) = I
En utilisant la propriété AA^-1 = A^-1 .A = I , on obtient que A est inversible.
Or, pour moi on a seulement démontré que A*A^-1 = I Mais pas que A^-1 * A = I.
Il me semble ici que la commutativité des matrices est admise alors qu'elle ne l'est pas dans l'exercice.
Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance,
Jacky.
Bonsoir
On ne peut pas parler de avant de savoir qu'elle est inversible !
En effet, si A est inversible, on a
Mais une matrice carrée est inversible si et seulement si il existe de même taille telle que
Et une fois qu'on a trouvé cette matrice , on peut commencer à l'appeler
En ce qui concerne la commutativité, les matrices et
commutent trivialement, puisque
commute avec
et avec
D'accord, merci beaucoup pour ta réponse, je comprends mieux !
Donc si je comprends bien, en plus de commuter trivialement avec I, ce que j'avais vu en cours, une matrice commute également toujours avec elle même ? (Dans ce cas, A.A² = A².A ? Ou alors est-ce valable seulement pour le cas décris plus haut ?)
C'est vrai ma question était un peu évidente, mais ce que je voulais dire par là, c'est faut - t - il énoncer dans ma réponse que A commute avec elle même et avec I ou est-ce admis implicitement ?
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