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Matrices

Posté par jacko78 (invité) 22-03-05 à 19:32

Bonjour, j'ai une exercice sur les matrices auquel je ne comprend strictement rien, meme l'énoncé, quelqu'un peut il me venir en aide ?

Déterminer les puissances nèmes des matrices suivantes :

a) 4$A=\(\array{\\&1&2&1\\&0&0&2\\&0&0&0}\)

b) 4$B=\(\array{\\&2&1&1\\&0&2&1\\&0&0&2}\)

c) 4$C=\(\array{\\&a&a&a\\&a&a&a\\&a&a&a}\) avec a reel non nul

d) D matrice carrée d'ordre n telle que D=(dij)= a si i=j et b si ij.

Bref si quelqu'un trouve les reponses est ce qu'il peut aussi me donner la méthode la sur cet exo je suis vraiment a la masse...
Merci a tous

Posté par
isisstruissre : Matrices 22-03-05 à 20:37

Je te prosose de faire quelques essais...

A^2=A*A=\(\array{1&2&5\\0&0&0\\0&0&0}\)

Si tu calcules A^3=A*A^2 tu risques d'avoir une belle surprise...

B^2=\(\array{4&4&5\\0&4&4\\0&0&4}\)\hspace{30}B^3=\(\array{8&12&18\\0&8&12\\0&0&8}\)

Je n'ai pas trouvé de recette miracle. J'ai eu deux idées:
(1) Regarder les termes de la matrice comme des termes d'une suite et étudier ces suites (la diagonale est évidente par exemple)
(2) Décomposer B. Là j'ai encore eu deux idées:
(a)B=I+M=\(\array{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\)+\(\array{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1}\)
Les puissances de M sont plus faciles à étudier.
(b)B=2I+N=2\(\array{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\)+\(\array{0&1&1\\0&0&1\\0&0&0}\)
Tu verras que N² est très simple et que toutes les puissances supérieures donnent une matrice nulle.

Si je trouve une meilleure idée pour B je reviens

C^2=\(\array{3a^2&3a^2&3a^2\\3a^2&3a^2&3a^2\\3a^2&3a^2&3a^2\\}\)\hspace{30}C^3=\(\array{9a^3&9a^3&9a^3\\9a^3&9a^3&9a^3\\9a^3&9a^3&9a^3\\}\)

En essayant un peu j'espère que tu seras convaincu que les termes de la matrice Ck vaudront c_{ij}^k=a^k3^{k-1}. Une petite démo par récurrence justifiera ceci.

Isis

Posté par jacko78 (invité)re : Matrices 22-03-05 à 21:13

ok merci a toi je vais essayer de suite, par contre pourrais tu me dire clairement ce que signifie l'énoncé je ne comprend pas bien stp.
Merci bcp

Posté par
franzre : Matrices 22-03-05 à 21:26

Je me permets de prendre le relais d'Isis

il vaut mieux explorer la voie 2b/

B=2I_3+N=2\(\array{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\)+\(\array{0&1&1\\0&0&1\\0&0&0}\)
et effectivement
N^2=\(\array{0&0&1\\0&0&0\\0&0&0}\)   et pour   k\ge3\;,\; N^k=0_{{\mathcal M}_3({\mathbb R})}

Comme I_3 et N commutent, on peut applique la formule du binôme dont seuls les 3 premiers termes sont non nuls.
B^n=(N+2I_3)^n=\Bigsum_{k=0}^n\(\array{n\\k}\)\,N^k\,\(2I_3\)^{n-k} = \(\array{n\\0}\)(2^n)I_3+\(\array{n\\1}\)(2^{n-1})N+\(\array{n\\2}\)(2^{n-2})N^2

\large B^n=2^n.\(\array{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\)+n2^{n-1}\(\array{0&1&1\\0&0&1\\0&0&0}\)+\frac{n(n-1)}2\,2^{n-2}\(\array{0&0&1\\0&0&0\\0&0&0}\)

Posté par
franzre : Matrices 22-03-05 à 22:03

pour le 4°

D=(a-b)I_n+b J_n où J_n=\(\array{1&1&\cdots &1\\ 1 & 1 &\cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots &1 & 1}\)

On montre comme au 3° que J_n^2=n J_n et par récurrence
\red \forall k \in {\mathbb N}^*  J_n^k=n^{k-1} J_n

On peut de vouveau appliquer la formule du binôme
\large \array{ ccl $ D^p=\((a-b)I_n+b J_n\)^p & = & \Bigsum_{k=0}^p\(\array{p\\k}\)\,\(b J_n\)^k\,\((a-b)I_n\)^{p-k} \\ &= & \(\array{p\\0}\)\,\(b J_n\)^0\,\((a-b)I_n\)^{p} + \Bigsum_{k=1}^p\(\array{p\\k}\)\,b^k(a-b)^{p-k}\, \(n^{k-1}J_n\) \\ & = & (a-b)^p I_n + \left( \frac 1 n \,\Bigsum_{k=1}^p\(\array{p\\k}\)\,(n b)^k(a-b)^{p-k} \right) J_n \\ & = & (a-b)^p I_n + \left( \frac 1 n \,\Bigsum_{k=0}^p\(\array{p\\k}\)\,(n b)^k(a-b)^{p-k} \right) J_n \;-\; \frac 1 n (\array{p\\0}\)\,(n b)^0(a-b)^{p} J_n \\ & = & (a-b)^p I_n + \frac 1 n \(n b + (a-b)\)^p J_n - \frac {(a-b)^p}n J_n \\ \vspace {15} \\ & = & \LARGE (a-b)^p I_n + \frac { \(a+(n-1)b\)^p -(a-b)^p } n J_n}


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