Bonjour,
Je repose ma question, car on ne vois pas les formules dans le message précédent.
On suppose que  ^tA= A^2+A-I_n. Que peut-on dire de A.
Merci de votre aide
Castor

bonjour

A=u.I et u=1 alors A = I

A^t=   A^2+A-I donc
I=I ^2+I-I

Bonsoir castor.
Je suppose que tu travailles sur le corps des réels ou celui des complexes.

Possibilité de permuter : bien vu.
Tu devrais utiliser la décomposition unique d'une matrice à l'aide d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique : symétrique, antisymétrique.
Commence par démontrer la possibilité de permuter puis écris la relation de départ en identifiant les éléments symétrique et antisymétrique.

Tu verras alors que est nilpotent et, pour une matrice antisymétrique, il n'y a pas beaucoup de choix (il suffit de penser aux valeurs propres complexes d'une matrice antisymétrique et savoir qu'elle diagonalise dans les complexes).

Deux remarques !
1. Obtenir que est nilpotent se fait sans hypothèse sur le corps des coefficients (à part qu'il ne doit pas être de caractéristique 2).
Après je suppose implicitement que les matrices sont à coefficients réels : je ne vois aucune solution simple si ce n'est pas le cas.
2. Si tu ne connais pas bien les propriétés des matrices antisymétriques pour démontrer que l'unique matrice réelle antisymétrique nilpotente est nulle tu peux procéder ainsi :
est symétrique réelle  donc diagonalisable. Si elle est nilpotente on aura .
Ensuite, pour toute matrice colonne on a ...