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Niveau maths sup
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Matrices

Posté par
Kekeee
25-04-22 à 22:18

Bonsoir, j'aurais quelques questions sur un exercice:

Soient a,b,c,d . On pose A=\begin{bmatrix} a&b \\ c& d \end{bmatrix} et on note f l'endomorphisme de 2 canoniquement associé à A.

1. On suppose que:
a+d=1 et que ad-bc=0
Montrer que f est un projecteur.

2. On suppose réciproquement que f est un projecteur et que f0 et fId[sub2][/sub].

a) Montrer qu'il existe une base de 2 dans laquelle la matrice de f est \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 0 \end{bmatrix}

b) En deduire que: a+d=1 et ad-bc=0

3. Que vaut a+d si f est une symétrie?

4. Si f est une symétrie peut-on avoir ad-bc=0?


Pour la 1) j'ai montré que A*A=A sans trop de soucis.

Pour la 2) je procède par analyse synthèse.

Analyse: Soit B=(b1,b2) une base de 2 tq:
MatBf= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 0 \end{bmatrix}

Cela assure que:
f(b1)=b1 et f(b2)=0 i.e que b1Inv f et b2Ker f, ce qui est possible car:
f0 donc dimKerf<2
et b2 Kerf donc dimKerf=1
Et par théorème du rang rgf=1 et b1Inv f
(Ces dernières justifications me paraissent bancales).

Pour ma synthèse je ne sais pas vraiment comment montrer de façon certaine que (b1,b2) forme une base de 2 car je n'ai pas montré que b1 et b2 étaient non nuls.

Merci pour votre aide

Posté par
alfpfeu
re : Matrices 26-04-22 à 13:29

Bonjour,

Par définition d'un projecteur tout élément de IR2 peut s'écrire a+b, avec a élément de A et b élement de B, avec p(a)=a et p(b)=0
p est le projecteur sur A parallelement à B

A et B sont en somme directe.
Comme le projecteur p n'est ni 0 ni l'identité, B n'est pas vide et n'est pas tout IR2 et A n est pas vide et n'est pas tout IR2 .
Est-ce que ca peut aider pour trouver une base comme demandée?

Merci

Posté par
phyelec78
re : Matrices 26-04-22 à 14:19

autre idée :

soit f : R2 → R2la projection sur une droite vectorielle G parallèlement à une droite vectorielle F .
-on prend une base B(b1,b2) de R2 avec b1 appartient à G et b2 appartient à F
-on prend un vecteur v(x,y)  de R2 dans B
-on calcule g(v)  l'image de v par la projection sur F parallèlement à G

On a alors :
1. f(v) appartient à  G et v − f(v) = g(v) est dans F.
2. f+ g = id
3. La matrice de f par rapport à B est :
1 0
0 0

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 15:19

Ok je pense avoir réussi la question 2a) et b)

Pour la 3) j'aurais envie de répondre directement 0.
Mais je pense que ça demande un peu plus que ça

Posté par
alfpfeu
re : Matrices 26-04-22 à 15:34

s une symétrie s^2=Id

a+d c'est la trace, la trace c est la somme des valeurs propres, quelles sont les valeurs propres d une symétrie sur IR2?

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 15:41

Nous n'avons pas vu les valeurs propres désolé..

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 15:45

Mais je peux dire que s=2p-Id
Et donc que tr(s)=2-2=0
Non?

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 15:48

Ou encore que je peux trouver une base de R2 dans laquelle la matrice de f s'écrit:

\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}

Posté par
alfpfeu
re : Matrices 26-04-22 à 15:54

d'accord, quand s est une symétrie, tu sais que

s^2=Id
(s-Id)(s+Id)=0

les deux sous espaces ker(s-id), ker(s+Id) sont supplémentaires.
Du coup une matrice de s dans cette base est , selon les dimensions des sous espaces.
1 0
0 1

1  0
0 -1

-1 0
0 -1

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 16:07

Quand vous dites « cette base » c'est une base adaptée à la somme directe de Inv s et AntiInv s?

Si c'est le cas je ne vois pas comment on pourrait construire les matrices
10
01

Et
-10
0-1?

Ce sont les cas où dim AntiInv s=0 et où dim Inv s=0 c'est ça?

Je ne sais pas si l'on doit toujours considérer que f0 et fId2..

Posté par
alfpfeu
re : Matrices 26-04-22 à 16:10

s=id est bien une symétrie
s=-id aussi
Si tu les exclus, tu as la trace qui est nulle pour les symétries de IR2

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 16:25

Vu comme sont posé les question je pense que je dois les considérer.
Donc je peux directement conclure en disant que a+d=2 a+d=-2 ou a+d=0

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 16:31

Quand j'écris (s-id)(s+id)=0 je perds un peu la possibilité que:
Mat s=10
               0-1
Non? Alors que lorsqu'on écrit s2=Id c'est peut-être plus visible non? Je ne sais pas si je suis assez claire

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 16:53

Une réponse correcte serait de dire que:

Si dim Invs=0 alors dim AntiInv s=2,
Dans ce cas:
Mat s=\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}

(Je ne sais pas si je dois préciser la base)

Et ainsi: a+d=-2

Si dim Invs=2 alors dim AntiInv s=0,
Dans ce cas:
Mat s=\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

Et ainsi: a+d=2

Si dim Inv s=dim anti Inv s=1 alors:

Mat s=\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}

Ou Mat s=\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

Et ainsi: a+d=0

Non?

Posté par
Kekeee
re : Matrices 26-04-22 à 17:41

Pour la 4)
Si f est une symétrie alors A*A=Id
Donc A est inversible
Ainsi on ne peut pas avoir ad-bc=0.

Ça me parait un peu rapide pour une dernière question..

Posté par
alfpfeu
re : Matrices 27-04-22 à 01:38

Bonjour,

Comme s est une symétrie, les deux sous espaces vectoriels ker(s-id), ker(s+Id) sont supplémentaires.
J'imagine que dans ton cours tu as vu l'ensemble des invariants, i.e. l'ensemble des vecteurs e tels que s(e)=e, plutot que sous la forme d'un noyau.
A ton avis, Ker(s-id) et l'ensemble des invariants, est-ce la même chose?

Ensuite, comme nous sommes en dimension 2, nous pouvons traiter les différents cas.
Par exemple si ker(s-id) et ker(s+Id) sont tous les deux de dimension 1
je prends un vecteur non nul e1 du premier et un vecteur non nul e2 du deuxieme afin de former une base de IR2, (e1, e2)
et nous avons s(e1)=e1 et s(e2)=-e2
d'où la matrice de s dans cette base
1 0
0 -1

etc

Pour la dernière question s est en effet inversible donc son déterminant est différent de 0.


Merci



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