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Matrices

Posté par
louisecjulia
25-01-23 à 18:12

Bonjour, je dois faire un exercice et je n'arrive pas à répondre à la question c. J'ai fais la a) et la b).
Je vous recopie l'énoncé, merci de votre aide.

Pour tout a ∈ R, on définit la matrice: M(a)= (a-1   -1)
                                                                                                 ( 2   a+2)
a) On pose J=M(0)
Calculer J² et en déduire J puissance k pour tout k ∈ N.
b) Soit a ∈ R.
Montrer qu'il existe des réels α et β tels que M(a)=αJ + βI₂.
c) En déduire M(a) puissance n pour tout n ∈ N.

a)J²= (-1   -1) = J
            (2       2)
donc J puissance k = J

b) (a-1    -1) = α(-1   -1) + β(1  0)
      (2    a+2)        (2       2)        (1  0)
donc α= 1 et β=a

c) Je pensais utiliser le binôme de Newton pour les matrices mais j'ai seulement vu quand J puissance k est nilpotente et là elle ne l'est pas
  

Posté par
malou Webmaster
re : Matrices 25-01-23 à 18:24

Bonjour louisecjulia, et bienvenue

petite aide à l'écriture des matrices :
choisir l'assistant Ltx (aide à l'écriture latex)

Matrices

puis

Matrices

Posté par
louisecjulia
re : Matrices 25-01-23 à 18:37

merci de me le dire, je ne l'avais pas vu j'ai galéré à les écrire

Posté par
Ulmiere
re : Matrices 25-01-23 à 20:19

Tu as interverti un 1 et un 0 dans ta représentation de I_2, dans la question b)


Pour la question c), avant d'appliquer la formule du binôme, est-ce que J et l'identité commutent ?
Et si oui, la nilpotence ou pas de J n'a aucune importance, vu que la somme est finie et contient au plus n+1 termes.

Il faut simplement remplacer les J^k par des J, lorsque k \geqslant 1

Posté par
louisecjulia
re : Matrices 26-01-23 à 19:45

les deux matrices commutent et j'ai essayé pour le  Jk = J mais j'ai toujours un problème avec (aI2)n-k. On m'a dit que je pouvais enlever la matrice identité car elle reste à la même valeur mais je ne sais pas ce que je dois faire du a.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices 26-01-23 à 20:49

Bonsoir,
Je réponds en l'absence d'Ulmiere qui reprendra quand il le voudra.
Tu ne peux pas enlever la matrice identité. Par contre, tu peux utiliser le fait que I2I2 = I2 et que plus généralement (I2)k = I2.

Pour le a, tu es censée savoir que (A)(B) = ()AB.

Posté par
Ulmiere
re : Matrices 27-01-23 à 11:35

C'est simplement la bilinéarité du produit matriciel et le fait que I soit l'identité du produit matriciel.


Alternativement, en appliquant la formule

(A_1A_2\cdots A_k)(i,j) = \sum_{1\leqslant i_1,i_2,\cdots, i_{k-1} \leqslant n} A_1(i,i_1)A_2(i_1,i_2)\cdots A_k(i_{k-1},j)

à A_n(u,v) = a\delta_{u,v}, la linéarité de la somme permet de sortir k fois le facteur a, et ce qui reste est \sum_{1\leqslant i_1,i_2,\cdots, i_{k-1} \leqslant n} \delta(i,i_1)\delta(i_1,i_2)\cdots \delta(i_{k-1},j) = \delta(i,j), de sorte que (aI)^k et a^k I aient les mêmes coefficients dans les mêmes bases, donc soient égales



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