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Matrices
Bonjour, je dois faire un exercice et je n'arrive pas à répondre à la question c. J'ai fais la a) et la b).
Je vous recopie l'énoncé, merci de votre aide.
Pour tout a ∈ R, on définit la matrice: M(a)= (a-1 -1)
( 2 a+2)
a) On pose J=M(0)
Calculer J² et en déduire J puissance k pour tout k ∈ N.
b) Soit a ∈ R.
Montrer qu'il existe des réels α et β tels que M(a)=αJ + βI₂.
c) En déduire M(a) puissance n pour tout n ∈ N.
a)J²= (-1 -1) = J
(2 2)
donc J puissance k = J
b) (a-1 -1) = α(-1 -1) + β(1 0)
(2 a+2) (2 2) (1 0)
donc α= 1 et β=a
c) Je pensais utiliser le binôme de Newton pour les matrices mais j'ai seulement vu quand J puissance k est nilpotente et là elle ne l'est pas
Bonjour louisecjulia, et bienvenue 
petite aide à l'écriture des matrices :
choisir l'assistant Ltx (aide à l'écriture latex)
puis
Tu as interverti un 1 et un 0 dans ta représentation de , dans la question b)
Pour la question c), avant d'appliquer la formule du binôme, est-ce que J et l'identité commutent ?
Et si oui, la nilpotence ou pas de J n'a aucune importance, vu que la somme est finie et contient au plus n+1 termes.
Il faut simplement remplacer les par des
, lorsque
les deux matrices commutent et j'ai essayé pour le Jk = J mais j'ai toujours un problème avec (aI2)n-k. On m'a dit que je pouvais enlever la matrice identité car elle reste à la même valeur mais je ne sais pas ce que je dois faire du a.
Bonsoir,
Je réponds en l'absence d'Ulmiere qui reprendra quand il le voudra.
Tu ne peux pas enlever la matrice identité. Par contre, tu peux utiliser le fait que I2
I2 = I2 et que plus généralement (I2)k = I2.
Pour le a, tu es censée savoir que (
A)(
B) = ()AB.
C'est simplement la bilinéarité du produit matriciel et le fait que I soit l'identité du produit matriciel.
Alternativement, en appliquant la formule
à , la linéarité de la somme permet de sortir k fois le facteur a, et ce qui reste est
, de sorte que
et
aient les mêmes coefficients dans les mêmes bases, donc soient égales
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