Niveau Maths sup

Matrices admettant une racine carrée

Posté par
Araen 20-02-12 à 00:13

Bonjour,

J'ai un DM de maths sur les matrices admettant des racines carrées pendant ces vacances que j'ai bien avancé mais qui reste réticent sur quelques points. Les voici :

Partie I : Préliminaires
1) Si A admet une racine carrée, elle en admet plusieurs.

Partie II : Diagonale
1) Montrer que $\begin{pmatrix} \\ 1&0 \\ \\ 0&-4 \\ \end{pmatrix}$ n'admet pas de racine carrée.

3) Soit A = diag(-1, ..., -1, 1, ..., 1) dans $M_{n}(\mathbb{R})$ avec un nombre impair de -1. On suppose qu'il existe B dans $M_{n}(\mathbb{R})$ telle que B² = A. Soit a et b dans L( $\mathbb{R}$ ⁿ) canoniquement associés à A et B.
a) Soit F = ker(a + Id). dim(F) ?
J'ai tenté par théorème du rang, mais j'arrive pas à aboutir.
b) J'ai montré que b(F) $\subset$ F.
c) On définit f = $\left\lbrace\begin{array}l F -> F \\ x -> b(x) \end{array}$
Que vaut f² ?
J'aurais bien aimé montré que f² était égal à 0, ou quelque chose qui contredirait le fait que B²=A, mais impossible.

4) A = diag( ${\lambda_{1}~x}$ ,..., ${\lambda_{n}~x}$ ) dans $M_{n}(\mathbb{R})$ . On suppose que chaque ${\lambda_{i}~x}$ < 0 apparaît un nombre pair de fois.
a) Montrer qu'il existe une matrice P dans $M_{n}(\mathbb{R})$ inversible telle que P A P^-1 soit diagonale avec tous les ${\lambda_{i}~x}$ < 0 au début groupés deux par deux par valeurs égales.

b) Montrer que A admet une racine carrée.

Partie III : Nilpotente
Soit A dans $M_{n}(\mathbb{R})$ et k son indice de nilpotence.

4) Trouver une condition nécessaire sur k pour que A admette une racine carrée.
Sachant que j'ai montré précédemment, entre autre, que (x,a(x),...a^k-1(x)) est une famille libre, avec a^k-1(x) différent de 0.
J'ai essayé de raisonner sur la parité de k, mais ni k pair, ni k impair n'aboutisse à une absurdité. Du coup, je sais pas trop, j'ai pas d'autre intuition.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 20-02-12 à 01:40

Salut !
Pour partie 1 :
Soit $A\ne 0$ une matrice carreé. S'il existe une matrice carreé $B\ne 0$ telle que $A=B^2$ , alors $(-B)^2=B^2=A$ .
Pour la matrice nulle , on a $E_{ij}^2=0$ , pour $i\ne j$ où :
$E_{ij}=[a_{uv}]$ avec $a_{uv}=0$ si $(u,v)\ne (i,j)$ et $a_{ij}=1$ .

Pour partie 2 :
1) On a ce lemme :
Lemme :
Si $A$ est une matrice carreé admettant une racine carreé, alors $\det A\geq0$ .
Démonstration :
Si $A=B^2$ , alors $\det A=(\det B)^2\geq 0$ .

Donc , Comme $\det \begin{pmatrix}1&0\\0&-4\end{pmatrix}=-4<0$ , alors d'après le lemme cette matrice n'a pas de racine carrée.

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 20-02-12 à 02:36

Merci pour ta réponse !
Pour la matrice, on a pas encore vu le détermininant en cours, du coup je ne peux pas l'utiliser...

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 20-02-12 à 02:58

Danc ce cas , supposons qu'il existe une matrice $B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ telle que $B^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&-4\end{pmatrix}$ .
On a :
$B^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(c+d)\\c(a+d)&cb+d^2\end{pmatrix}$ .
Donc par identification on trouve :
$\begin{cases} \\ a^2+bc&=1\quad(1)\\b(a+d)&=0\quad(2)\\c(a+d)&=0\quad(3)\\cb+d^2&=-4\quad(4) \\ \\ \end{cases}$
Si $a+d\ne 0$ , alors de (2) et (3) on a $b=c=0$ et donc de (4) on trouve $d^2=-4$ , absurde.
Si $a+d=0$ , alors $a^2=d^2$ . Donc $d^2+bc=a^2+bc$ et donc de (1) et (4) on obtient $1=-4$ , absurde.

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 20-02-12 à 11:18

Ah oui, en effet, j'avais pas pensé à raisonner comme ça

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 20-02-12 à 22:56

Pas d'autre idée pour le reste ?

Posté par re : Matrices admettant une racine carrée 21-02-12 à 06:54

Partie II
3)
Soit $m$ le nombre de $-1$ dans la matrice $A=\mathrm {diag}(-1,\cdots,-1,1,\cdots,1)\in{\cal M}_n({\mathbb R})$ .
Donc $1\leq m\leq n$ et $m$ est impair.
La matrice associeé à la base canonnique de l'application linéaire $a+{\mathrm Id}$ est :
$A+I_n=\mathrm{diag}(0,\cdots,0,2,\cdots,2)$ .
Donc on a :
$\\ \begin{array}{ll} \\ u=(x_1,\cdots,x_n)\in F=\ker(a+{\mathrm {Id}})&\iff (A+I_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}=0\\&\iff\begin{cases} 2x_{m+1}=0\\2x_{m+2}=0\\\vdots\\2x_n=0\end{cases}\\&\iff u=(x_1,\cdots,x_m,0,\cdots,0) \\ \end{array} \\$
Donc $\dim F=m$ .

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