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Matrices carrées

Posté par
dominga94 27-11-12 à 20:26

Bonjour, j'ai à nouveau un problème à vous soumettre, alors si jamais quelqu'un peut m'aider ce serait top


On considère l'espace E des matrices carrées de taille 2 à coefficients réels. A et B sont deux éléments de E, on dira que A est semblable à B s'il existe une matrice P dans E inversible, telle que A = P^-1.B.P. On note I2 la matrice identité de taille 2.

1) Montrer que la relation "être semblable à" est une relation d'équivalence sur E. Déterminer la classe d'équivalence (pour cette relation) de la matrice.

Alors ici j'ai montré que la relation était réflexive, symétrique et transitive, donc c'est une relation d'équivalence.
Pour la classe d'équivalence, je dis : si on note CLR(I2) la classe d'équivalence modulo R de l'identité : CLR(I2) = M E / M R I2 = M E / P E', M = P^-1.I2P

Les questions suivantes je ne sais pas faire du tout :/

Pour toute matrice A E, on a : Tr (A) = a11+ a22 si
   a11  a12
A
   a21  a22

2) Soit A, B, C dans E, montrer que :
Tr (AB)= Tr (BA) et Tr (ABC) = Tr (BCA) = Tr (CAB)

Si on nomme C = AB et D = BA il parait que c'est plus simple de montrer le premier, mais je ne comprend pas comment, surtout si on ne connait pas la matrice B...?

3) Déduire que si A et B semblable, alors A et B ont la même trace. Montrer que si A et B semblables, alors A et B ont le même déterminant.

4) Soient A et B des matrices de E, a . Montrer que A et B sont semblables A-aI2 et B-aI2


Voilà voilà, en gros ce que je ne comprend pas c'est l'histoires des traces et du "semblable à".

Merci pour votre aide

Posté par
Surbre : Matrices carrées 27-11-12 à 20:51

Bonsoir,
1)

Citation :

CLR(I2) = M E / M R I2 = M E / P E', M = P^-1.I2P

Pas compris....

2) Ce n'est peut être pas la manière la plus élégante de le montrer mais en utilisant la définition de la multiplication matricielle, pour A,B \in \mathbb{R}^n on a
(AB)_{i,j} = \sum_{k = 0}^n A_{i,k}B_{k,j}.

3) Pour la trace il faut utiliser le 2) en choisissant judicieusement A,B et C. Quant au déterminant, le plus simple me semble d'utiliser le fait que \det(AB) = \det(A)\det(B).

4) Il suffit d'appliquer la définition et de penser au fait que P^-1 I_2 P = I_2

Posté par
dominga94re : Matrices carrées 27-11-12 à 21:15

Bonsoir, et merci pour votre aide.

Le problème c'est que je n'ai pas vraiment de cour là dessus, je dois me contenter de ce que je trouve sur le net et ça ne m'aide pas beaucoup. Donc si vous pouviez m'expliquer en détail..?

Posté par
Surbre : Matrices carrées 27-11-12 à 21:51

2) Produit matricielle:
Après il s'agit de triturer les sommes ou simplement d'écrire tout les termes.
On a
Tr(AB) = (AB)_{1,1}+(AB)_{2,2} =\sum_{k = 1}^2 A_{1,k}B_{k,1}+\sum_{k = 1}^2 A_{2,k}B_{k,2} = A_{1,1}B_{1,1} + A_{1,2}B_{2,1} + ... = ... = Tr(BA) \\

Les égalités Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB) découlent directement de Tr(AB)=Tr(BA).

3) Pour deux matrices semblables M,M' on a l'existence de P inversible tel que M = P^{-1}M'P. Ainsi en utilisant judicieusement Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB) avec A = P^{-1}, B = M', C = P et en se rappelant que M = MP^{-1}P. Tu pourras montrer que Tr(M) = Tr(M').
Finalement le fait que \det(AB) = \det(A)\det(B) qui se démontre facilement par un calcul direct, de même que \det(P^{-1})=(\det(P))^{-1} en utilisant la formule classique d'inversion des matrices 2x2. Voir aussi .

Posté par
dominga94re : Matrices carrées 27-11-12 à 23:07

D'accord, merci.

Et deux autres petites questions, comment on définit une classe d'équivalence ? Et comment montre t-on que A=B si on nous dit que Tr (AC) = Tr (BC) ?

Posté par
Surbre : Matrices carrées 27-11-12 à 23:32

Classe d'équivalence: .
Donc dans ton exercice:
\\ CL_R(A) = \{B \in E|\exists P \text{ inversible tq } A=P^{-1}BP \}

Je pense néanmoins que l'on peut peut-être définir cet ensemble de manière un peu plus explicite avec les autres points de l'exercice. Mais j'avoue que là tout de suite je ne vois pas... J'y réfléchirai... et peut-être qu'un autre îliens qui connait la solution passera par ici.

Citation :

Et comment montre t-on que A=B si on nous dit que Tr (AC) = Tr (BC) ?

Ceci n'est absolument pas vrai par exemple A = I_2, B = -I_2, C = \mathbf{O}_2.
Cependant si Tr(AC) = Tr(BC) pour tout C \in E alors il te suffit de choisir 4 bonnes matrices C^i,C^{ii},C^{iii},C^{iv} tels que
Tr(AC^i) = A_{1,1}
Tr(AC^{ii}) = A_{1,2}
Tr(AC^{iii}) = A_{2,1}
Tr(AC^{iv}) = A_{2,2}

Posté par
dominga94re : Matrices carrées 28-11-12 à 09:07

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide

Je pense qu'il faut la laisser comme ça la classe d'équivalence...

Merci en tout cas de m'avoir accordé de votre temps !!

Bonne journée !


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