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Niveau Maths sup
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matrices equivalentes

Posté par
carp-sarah
05-06-14 à 08:07

Bonjour,

deux matrices equivalentes ont elles le même determinant ??

j'ai A=PNQ  avec N nilpotente donc det N =OP je veux prouver que A est non inversible mais on n'a pas forcément Q=P-1 pas vrai ?

merci

Posté par
Quentin-974
re : matrices equivalentes 05-06-14 à 08:34

Salut!
Dans ton cas, N est nilpotente donc   det(N)=0, et A=PNQ avec P et Q inversible. Donc det(A)=det(P)det(N)det(Q)=0.
Un petit exemple: N= $ \begin{pmatrix}
 \\ 0&1\\
 \\ 0&0
 \\ \end{pmatrix}$
 \\ est bien nilpotente, P= $ \begin{pmatrix}
 \\ 1&0\\
 \\ 1&1
 \\ \end{pmatrix}$ et Q= $ \begin{pmatrix}
 \\ 1&1\\
 \\ 0&1
 \\ \end{pmatrix}$ sont bien inversible.
On a: PNQ=$ \begin{pmatrix}
 \\ 0&1\\
 \\ 0&1
 \\ \end{pmatrix}$. En notant A cette matrice, A est bien équivalente à B (par définition), mais par contre A n'est pas semblable à B car elle n'a pas la même trace que B.
Donc pour répondre à ta question, dans ce cas on a bien A=PNQ, N nilpotente, mais Q\not=P^{-1} (je te laisse le verifier)

Posté par
Quentin-974
re : matrices equivalentes 05-06-14 à 08:37

Désolé pour le double post, j'ai oublié ta première question: deux matrices équivalentes ne sont pas forcement des matrices carrées, on ne peut donc pas toujours parler de déterminant. Dans le cas où ce sont des matrices carrées, elle n'auront pas toujours le même déterminant. (Contrairement à des matrices semblables)

Posté par
Quentin-974
re : matrices equivalentes 05-06-14 à 08:44

(Et bien sur il faut remplacer tous mes "B" par "N dans mon premier post)

Posté par
carp-sarah
re : matrices equivalentes 05-06-14 à 19:25

merci beaucoup !

Posté par
Quentin-974
re : matrices equivalentes 05-06-14 à 20:26

De rien
Ais-je été assez clair malgré les 3 posts?



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