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Matrices équivalentes
Bonjour, d'après la définition
(A,B) € Mn,p(K)
A et B sont équivalentes si et seulement si :
il existe (P,Q) € GLp(K) x GLn(K) tel que B=QAP
Ce que je comprends PAS c'est le théorème qui dit :
2 matrices A et B sont équivalentes alors elles représentent le même morphisme linéaire dans des bases différentes.
Si on suppose l'égalité B=QAP,
Si on a deux espaces vectoriels E et F de dimension finies non nulles respectivement p et n. Puis Be base de E et Bf base de F. Ensuite on se donne g appartient L(E,F)
Et on pose A= mat(g, Be, Bf)
Mais rien ne force à ce que P soit une matrice de passage de Be a une autre base de E par exemple. Je peux très bien décidé que ma matrice P soit une matrice de passage d'une base C de E a une autre base D de E.
Dans ce cas B et A ne vont pas représenter la même application linéaire.
salut
soit u = (u_i) et v = (v_i) deux bases de l'espace vectoriel E
soit P la matrice de passage de la base (u_i) à la base (v_i)
alors P est la matrice de l'application identité exprimée dans ces deux bases : P = mat (I, u, v)
de même si w = (w_i) et t = (t_i) sont deux bases de F et Q la matrice de passage de w à t alors Q = mat(I, w, t)
donc si a et b sont les endomorphismes représentées par les matrice A et B on a :
B = QAP <=> b = I o a o I = a
donc B et A représentent le même homomorphisme dans deux bases différentes ...
carpediem
"donc si a et b sont les morphismes linéaires représentées par les matrice A et B"
Oui mais justement tu ne précises par rapport à quel base. On peut très bien décidé que A est la matrice de a relativement à d'autres bases autres que u et w non ?
un morphisme est un morphisme ... epictou ...
le morphisme x --> 2x n'a pas besoin de base pour être bien défini ...
carpediem oui mais il faut définir des bases pour associer une matrice a un morphisme linéaire. On peut dire que P est la matrice de passage entre les bases u et w. Mais je peux également dire que A est la matrice de a relativement aux bases s et t (d'autres bases de E et F )
tout as le schéma :
u --> A --> s A matrice de f dans les bases u de E et s de F
| |
| P Q | P et Q matrices de passage de w à u (dans E) et de s à t (dans F)
| |
w --> B--> t B matrice de f dans les bases w de E et t de F
donc B = QAP
Je vais encore me répéter mais on est d'accord que c'est UN choix de bases. Par exemple tu as posé A est la matrice de f relativement aux bases u et s et P est la matrice de passage de la base w a u ( c'est ton schéma )
MAIS MAIS MAIS on aurait pu décider que P est la matrice de passage d'une base f de E par exemple à une autre base g de E ( f et g sont des bases différentes de w et u )
Il n'y a rien qui nous impose à considérer P comme matrice de passage de la base w et u (même chose pour Q d'ailleurs )
Bonjour,
Revenons au théorème
Si 2 matrices A et B sont équivalentes, alors elles représentent le même morphisme linéaire dans des bases différentes.
Je reprends ta démarche
On suppose qu'il existe
On se donne deux espaces vectoriels
1°) Il existe une unique application linéaire
2°) Il existe une unique base
3°) Il existe une unique base
D'accord pour ces trois points ?
On conclut que
GBZM
On pose A la matrice de g dans les bases au départ et
à l'arrivée.
Ok !
Cependant ce que je n'arrive pas à comprendre c'est qu'est ce qui nous impose que P soit la matrice de passage de à
?
On peut très bien considérer P comme une matrice de passage d'une base au départ et
à l'arrivée.
Dans ce cas le théorème n'est pas vrai.
Bonjour !
Je crois que ton théorème demande une précision.
Si est la matrice de
dans le couple de bases
et
équivalente à
alors il existe des bases
telles que
soit la matrice de
pour ces bases.
J'ai l'impression que tu crois, à tort, que le deuxième couple de bases puisse être choisi arbitrairement !
Lupus,
S'il te plaît, fais un effort pour lire correctement ce que j'écris.
On pose A la matrice de g dans les bases
Ce n'est pas ce que j'ai écrit.
Ce qui est donné, c'est
On définit
Cependant ce que je n'arrive pas à comprendre c'est qu'est ce qui nous impose que P soit la matrice de passage de
Ce qui est donné, c'est
Par définition de
On peut très bien considérer P comme une matrice de passage d'une base
Pour toute base
merci beaucoup pour vos aides 
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