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Niveau Maths sup
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Matrices équivalentes

Posté par
lupus
20-09-20 à 16:53

Bonjour, d'après la définition
(A,B) € Mn,p(K)

A et B sont équivalentes si et seulement si :
il existe (P,Q) € GLp(K) x GLn(K) tel que B=QAP

Ce que je comprends PAS  c'est le théorème qui dit :

2 matrices A et B sont équivalentes alors elles représentent le même morphisme linéaire dans des bases différentes.



Si on suppose l'égalité B=QAP,

Si on a deux espaces vectoriels E et F de dimension finies non nulles respectivement p et n. Puis Be base de E et Bf base de F.  Ensuite on se donne g appartient L(E,F)

Et on pose A= mat(g, Be, Bf)

Mais rien ne force à ce que P soit une matrice de passage de Be a une autre base de E par exemple. Je peux très bien décidé que ma matrice P soit une matrice de passage d'une base C de E a une autre base D de E.
Dans ce cas B et A ne vont pas représenter la même application linéaire.

Posté par
carpediem
re : Matrices équivalentes 20-09-20 à 19:19

salut

soit u = (u_i) et v = (v_i) deux bases de l'espace vectoriel E

soit P la matrice de passage de la base (u_i) à la base (v_i)

alors P est la matrice de l'application identité exprimée dans ces deux bases : P = mat (I, u, v)

de même si w = (w_i) et t = (t_i) sont deux bases de F et Q la matrice de passage de w à t alors Q = mat(I, w, t)

donc si a et b sont les endomorphismes représentées par les matrice A et B on a :

B = QAP <=> b = I o a o I = a

donc B et A représentent le même homomorphisme dans deux bases différentes ...

Posté par
lupus
re : Matrices équivalentes 20-09-20 à 19:33

carpediem

"donc si a et b sont les morphismes linéaires représentées par les matrice A et B"

Oui mais justement tu ne précises par rapport à quel base. On peut très bien décidé  que A est la matrice de a  relativement à d'autres bases autres que u et w non ?

Posté par
carpediem
re : Matrices équivalentes 20-09-20 à 20:15

un morphisme est un morphisme ... epictou ...

le morphisme x --> 2x n'a pas besoin de base pour être bien défini ...

Posté par
lupus
re : Matrices équivalentes 20-09-20 à 21:15

carpediem oui mais il faut définir des bases pour associer une matrice a un morphisme linéaire. On peut dire que P est la matrice de passage entre les bases u et w. Mais je peux également dire que A est la matrice de a relativement aux  bases s et t (d'autres bases de E et F )

Posté par
carpediem
re : Matrices équivalentes 20-09-20 à 23:49

tout as le schéma :

u --> A --> s     A matrice de f dans les bases u de E et s de F
|                      |
| P             Q |     P et Q matrices de passage de w à u (dans E) et de s à t (dans F)
|                      |
w --> B--> t    B matrice de f dans les bases w de E et t de F

donc B = QAP

Posté par
lupus
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 07:54

Je vais encore me répéter mais on est d'accord que c'est UN choix de bases. Par exemple tu as posé  A est la matrice de f relativement aux bases u et s  et P est la matrice de passage de la base w a u ( c'est ton schéma )
MAIS MAIS MAIS on aurait pu décider que P est la matrice de passage d'une base f de E par exemple à une autre base g de E ( f et g sont des bases différentes de w et u )
Il n'y a rien qui nous impose à considérer P comme matrice de passage de la base w et u (même chose pour Q d'ailleurs )

Posté par
GBZM
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 09:20

Bonjour,

Revenons au théorème

Citation :
Si 2 matrices A et B sont équivalentes, alors elles représentent le même morphisme linéaire dans des bases différentes.

Je reprends ta démarche
A,B dans M_{n,p}(K)
On suppose qu'il existe  (P,Q) \in \mathrm{GL}_p(K) \times \mathrm{GL}_n(K) tel que B=Q^{-1}AP,
On se donne deux espaces vectoriels E et F de dimension finies non nulles respectivement p et n. Puis \mathcal E base de E et \mathcal F base de F. Alors :
1°) Il existe une unique application linéaire g : E\to F telle que A soit la matrice de g dans les bases \mathcal E au départ et \mathcal F à l'arrivée.
2°) Il existe une unique base \mathcal E' de E telle que P soit la matrice de passage de \mathcal E à \mathcal E'.
3°) Il existe une unique base \mathcal F' de F telle que Q soit la matrice de passage de \mathcal F à \mathcal F'.
D'accord pour ces trois points ?
On conclut que B est la matrice de g dans les bases \mathcal E' au départ et \mathcal F ' à l'arrivée.
A et B représentent la même application linéaire g dans des bases différentes.

Posté par
lupus
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 10:03

GBZM


On pose A  la matrice de g dans les bases \mathcal E au départ et \mathcal F à l'arrivée.

Ok !

Cependant ce que je n'arrive pas à comprendre c'est qu'est ce qui nous impose que P soit la matrice de passage de \mathcal E à \mathcal E' ?

On peut très bien considérer P comme une matrice de passage d'une base \mathcal U au départ et \mathcal V à l'arrivée.

Dans ce cas le théorème n'est pas vrai.

Posté par
luzak
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 10:18

Bonjour !
Je crois que ton théorème demande une précision.
Si A est  la matrice de f dans le couple de bases \mathcal{E},\mathcal{F} et B équivalente à A alors il existe des bases \mathcal{E}',\mathcal{F}' telles que B soit la matrice de f pour ces bases.

J'ai l'impression que tu crois, à tort, que le deuxième couple de bases puisse être choisi arbitrairement !

Posté par
GBZM
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 10:22

Lupus,

S'il te plaît, fais un effort pour lire correctement ce que j'écris.

lupus @ 21-09-2020 à 10:03

On pose A  la matrice de g dans les bases \mathcal E au départ et \mathcal F à l'arrivée.

Ce n'est pas ce que j'ai écrit.
Ce qui est donné, c'est A, \mathcal E   et  \mathcal F .
On définit g comme l'application linéaire dont la matrice dans les bases \mathcal E   et  \mathcal F est A.

Citation :
Cependant ce que je n'arrive pas à comprendre c'est qu'est ce qui nous impose que P soit la matrice de passage de \mathcal E à \mathcal E' ?

Ce qui est donné, c'est P et \mathcal E. On définit \mathcal E' comme l'unique base telle que P soit la matrice de passage de \mathcal E à \mathcal E'.
Par définition de \mathcal E', P est la matrice de passage de \mathcal E à \mathcal E'.

Citation :
On peut très bien considérer P comme une matrice de passage d'une base \mathcal U au départ et \mathcal V à l'arrivée.  

Pour toute base \mathcal G de E, il existe une unique base \mathcal G' de E telle que P soit la matrice de passage de \mathcal G à \mathcal G'. Oui, et alors ?

Posté par
lupus
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 19:24

lupuscarpediemGBZM
J'ai compris merci beaucoup pour vos aides

Posté par
carpediem
re : Matrices équivalentes 21-09-20 à 19:29

de rien



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