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Matrices équivalentes et changement de bases

Posté par
fplanina 23-10-23 à 15:30

Bonjour à tous et merci de me lire, je suis actuellement sur le chapitre Matrice et applications linéaires.

Dans un exercice je trouve deux matrices équivalentes :

A=\begin{pmatrix} 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& \frac{3}{2}\\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix} équivalent à B=\begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}

Je veux dire j'applique bien les opérations élémentaires nécessaires pour y arriver.

et f est un endomorphisme

donc je souhaite vérifier la définition de l'équivalence en trouvant deux bases différentes (avec f en plus étant un endomorphisme) donc tout cela devrait respecter la propriété suivante :

A=PBP^{-1}


seulement c'est impossible car A n'est pas la matrice identité. Mais pourtant A est bien équivalent à B et devrait respecter la règle du changement de base....J'avoue ne pas saisir la nuance, j'ai certainement faire un erreur d'interprétation quelque part... Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît? En vous remerciant d'avance et vous souhaitant une belle journée

Posté par
bourire : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 15:53

Bonjour,

La matrice identité n'est équivalente qu'à la matrice identité
Si B=In alors pour toute matrice P, PBP-1=PP-1=In

L'énoncé est-il sur ?

Posté par
GBZMre : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 16:48

Bonjour,

Citation :
Je veux dire j'applique bien les opérations élémentaires nécessaires pour y arriver.

Tu as fait des opérations élémentaires sur les lignes de A pour arriver à B=I_4. Mais ça ne veut absolument pas dire que les matrices A et I_4 sont équivalentes ! Ça veut dire qu'il existe une matrice inversible U telle que UA=I_4, autrement dit que A est inversible.

Posté par
fplaninare : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 17:12

Merci pour vos réponses. Oui l'énonce est bon je pense (exercice 20/29 sur la playlist matrice de Hans Amble sur youtube)

Oui tu as raison c'est sûr, cependant je lis la définition que j'ai :

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si on peut transformer l'une en l'autre à travers des opérations élémentaires de lignes et de colonnes.

Si j'arrive à transformer A en B et B en A via les opérations élémentaires , pourquoi ne seraient  -elles pas équivalentes?

En gros, je ne comprends pas, avec les opérations élémentairs j'y arrive mais c'est pas équivalent ... Je suis dans la confusion...

Posté par
Rintarore : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 18:13

Bonjour, tu confonds la relation "être équivalent" et "être semblable" pour les matrices

Posté par
GBZMre : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 18:43

Désolé, j'ai fait moi-même le lapsus de'écrire "équivalentes " au lieu de "semblables". Les matrices A et I_4 sont équivalentes, mais elles ne sont pas semblables

Posté par
fplaninare : Matrices équivalentes et changement de bases 23-10-23 à 18:49

Oui, donc le changement de base est impossible...

En fait je cherchais à savoir si la matrice A et la matrice B était pareilles  sauf qu'elles avaient une base différente. Mais apparemment non, elles n'ont aucun rapport... Merci les gars.


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