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Niveau Maths sup
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matrices et determinant

Posté par titmelanie (invité) 04-12-04 à 16:29

Bonjour,
j'ai un DM à faire mais je suis bloquée à la première question je ne vois pas comment commencer.
Si quelqu'un peut m'aider se serait gentil!
Merci

L'objectif de ce problème est de résoudre l'énigme du berger:

Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la propriété suivante: pour chaque mouton, il peut trouver une façon de scinder le troupeau des 100 autres moutons en deux troupeaux de 50 moutons et de même poids total. Il en déduit que tous les moutons ont le même poids. Comment a-t-il fait? On montre, dans un premier temps, un résultat utile pour la démonstration finale.

1. (a) Montrer par récurrence que le déterminant de toute matrice carrée, dont les éléments diagonaux sont des nombres impairs, et dont tous les autres sont des nombres pairs, est un nombre impair.

(b) En déduire qu'une matrice de cette forme est inversible.

2. L'objectif de cette question est de résoudre l'énigme du berger. On note B la matrice carrée de taille 101 construite de la manière suivante:
On numérote les moutons de 1 à 101. Quand le berger retire le ième mouton du troupeau, il sépare alors le reste du troupeau en deux troupeaux égaux ( troupeau A, troupeau B) et de même poids. On note alors B;,j les coefficients de la ième ligne de la matrice B obtenu de la façon suivante
B;,j = { 1 si j=i     B;,j = { 0 si le j-ième mouton se trouve dans le troupeau A B;,j = { 2 si le j-ième ième mouton se trouve dans le troupeau B
On note X la matrice de taille 101x1 constituée des poids des moutons
Poids du mouton 1
Poids du mouton 2
X= …
Poids du mouton 100
Poids du mouton 101

On note M le poids total du troupeau

a)calculer   B *   1
1
.
.
.
1
(b) Calculer B X.
(c) Montrer que B est inversible. (d) En déduire X et résoudre l'énigme du berger.

Posté par
isisstruiss
re : matrices et determinant 05-12-04 à 01:02

Salut!

Je t'aide déjà pour le point 1.
(a) On va faire une récurence sur la taille n de la matrice carrée nxn.
Cette propriété est facile à vérifier pour n=1 car il s'agit d'un nombre impair.
Supposons le résultat vrai pour n-1 et montrons-le pour n. Il s'agit de calculer le déterminant d'une matrice de taille n. Je décompose suivant la première ligne
det\(\array{cccc$a_{11}&a_{12}&\cdots &a_1n\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_2n\\\vdots &&\ddots &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_nn\\\)=a_{11}det\(\array{ccc$a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\ddots &\\a_{n2}&\cdots &a_{nn}}\)-a_{12}det\(\array{cccc$a_{21}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\&&\ddots &\\a_{n1}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}}\)+\ldots +(-1)^{n+1}a_{1n}det\(\array{ccc$a_{21}&\cdots &a_{2n-1}\\&\ddots &\\a_{n1}&\cdots &a_{nn-1}}\)
Et là tu peux déduire que ce déterminant est impaire (décider terme par terme si pair ou impair).

Le point b est facile une fois le a vérifié.

Le point 2 je te laisse réfléchir, je me suis déjà donné pas mal la peine pour rédiger le 1, \LaTeX est très beau mais tout de même un peu barbare.

Isis

Posté par titmelanie (invité)re : matrices et determinant 05-12-04 à 12:10

Merci Isis pour ta réponse mais je ne vois pas pourquoi le déterminant est impaire, la somme de tous les déterminants est impaire?
sinon la question b je l'avais trouvé c'est la plus facile.
Merci
titmelanie

Posté par titmelanie (invité)re : matrices et determinant 07-12-04 à 13:09

Bonjour

est-ce que quelqu'un pourrais me donner un coup de main parce que je suis bloqué à la question 2, je ne vois  vraiment pas comment  construire la matrice B!!!

Merci

Posté par mikemikemike (invité)re : matrices et determinant 07-12-04 à 16:20

En ce qui concerne le 1 (a)... isisstruiss a développé le déterminant suivant la 1ère ligne(merci Latex, quoique barbare en effet) :
le 1er terme est le produit entre un nombre impair a11 et un déterminant d'ordre (n-1) dont le résultat est impair (puisque par récurrence, le résultat est supposé vrai pour n-1), donc le 1er terme est un nombre impair. Tous les autres termes du développement sont des nombres pairs car ils sont le résultat du produit d' au moins un nombre pair à savoir les a12 a13 a14.... Nous avons donc un somme dont tous les termes sont pairs sauf un (le premier) donc le résultat est un nombre impair.
Je n'ai pas regardé la 2ème partie mais j'espère que tu es plus avancée

Posté par titmelanie (invité)re : matrices et determinant 08-12-04 à 08:06

Merci beaucoup Mike!
Mais j'avais déjà trouvé c'est juste que je suis bloquée sur la 2 car je ne vois pas comment construire la matrice B.
Merci.

Posté par mikemikemike (invité)re : matrices et determinant 08-12-04 à 11:09

En fait, peu importe la manière dont tu construis la matrice B. Chaque ligne comprend :
- un élément valant 1 (celui se trouvant sur la diagonale)
- 50 éléments valant 0
- 50 éléments valant 2
Désolé de ne pas utiliser LTX...
Ainsi, le 2.a
B*C1 où C1 représente une matrice-colonne où tous les éléments valent 1 donne (facile à faire) comme résultat une matrice-colonne où chaque élément vaut 101. En utilisant les propriétés des matrices, tu mets 101 en évidence et tu obtiens comme résultat final
B * C1 = 101 * C1
Pour le 2.b
En se basant sur l'énoncé qui affirme "de même poids total"; soit p ce poids total.
Donc,
B*X = Cp où Cp est une matrice-colonne où chaque élément vaut p
    = p * C1 (on met p en évidence)
    = (p/101) *  ( 101 * C1 ) (artifice de calcul)
    = (p/101) * ( B * C1 ) (par 2.a)
Donc, B*X = (p/101) * B * C1
Allez, encore un petit effort pour le 2.3
Tous les éléments se trouvant sur la diagonale de B valent 1 (nombre impair) et tous les autres valent soit 0 soit 2 (nombres pairs), nous sommes donc dans les conditions du 1.a, donc la matrice B est inversible.
En reprenant la dernière relation obtenue au 2.b, on multiple (à gauche) par la matrice inverse de B  :
\LongrightarrowB-1 * B * X =  (p/101) * B-1 * B * C1
\LongleftrightarrowX = (p/101) * C1 (en effet, B-1 et B se simplifient car B-1 * B = la matrice-identité)
Donc la matrice X est une matrice-colonne où chaque élément vaut p/101. Le berger conclut donc que tous les moutons ont le même poids et que ce poids vaut \frac{p}{101}. CQFD



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