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Matrices et dimensions
Bonjour à tous!
J'ai un souci sur un point de cours que je ne parviens toujours pas à comprendre malgré mes efforts...
Je poste ici en espérant être éclairé une bonne fois pour toute (sans rire, j'ai facilement dû y passer une dizaine d'heures l'année dernière, et je n'arrive toujours pas à être certain de mon coup aujourd'hui).
Comment démontrer une bonne fois pour toute qu'une base des matrices symétriques est (Eij + Eji)1<=i<=j<=n ?
Plus fort encore, comment retrouver que la dimension vaut ?
Car quand je cherche à compter le nombre d'éléments, j'ai une somme double, donc je ne tombe pas du tout sur le résultat ci-dessus.
Merci d'avance, en espérant me débarrasser de ce souci!
Bonjour,
Pour montrer que ta famille est une base des matrices symétriques, il faut montrer plusieurs choses :
(i) - c'est une famille de matrices symétriques,
(ii) - cette famille est libre,
(iii) - cette famille est génératrice.
Sur lequel de ces points bloques-tu ?
La famille des (Eij + Eji) est libre, et toute matrice symétrique A de coefficients ai,j peut s'écrire comme somme des ai,j*(Ei,j+ Ej,i) donc la famille des (Eij + Eji) engendre le sev des matrices symétriques.
C'en est donc une base. La dimension est donc le nombre de matrices (Eij + Eji) possibles, il y en a autant que de coefficients sur et au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2.
Bonjour et merci de m'aider!
En fait, c'est la rédaction "propre" de ces points qui me gêne.
D'abord, d'où vient l'idée de prendre la famille des (Eij + Eji) ?
Ensuite, c'est une famille symétrique, pas de soucis.
La démonstration de la liberté, je coince 
:
Après cela, je m'emmêle.
En ce qui concerne "génératrice", pas de soucis, il suffira de remplacer les par des
.
Enfin, la dimension de cette famille me pose aussi souci.
Merci!
La famille des (Eij + Eji) est tentante car ce sont les matrices symétriques les plus simples possibles.
Pour la liberté, ta somme n'est autre que la matrice A de coefficients 
i,j. Si cette matrice est nulle, les i,j sont nécessairement tous nuls.
Pour définir une matrice symétrique, il faut donner une valeur à chacun des coefficients diagonaux et au-dessus de la diagonale. Les coefficients en dessous de la diagonale s'en déduisent par symétrie. (on peut évidemment faire l'inverse)
Il faut donc savoir combien il y a de coefficients sur la diagonale et au-dessus. Regarde avec une matrice de taille 3: il y en a 3 + 2 + 1.
En généralisant, il y a donc n + (n-1) + ... + 1 = n(n+1)/2 coefficients sur la diagonale et au-dessus (démo facile par récurrence, mais résultat à connaître).
Pour la liberté, ta somme n'est autre que la matrice A de coefficients i,j.
Ah d'accord! Mais je n'arrive vraiment pas à le voir malheureusement :/ .
Pour la suite, j'ai bien compris. On peut se contenter d'une démonstration "avec les mains" si je suis interrogé sur cette dimension?
Merci pour ta patience en tout cas!
Pour le voir, essaie avec une matrice de taille 3. Il est important que tu comprennes.
Pour la dimension, la méthode ci-dessous est parfaitement rigoureuse, tu peux l'énoncer sans problème.
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