salut

calcule tout simplement B^k = (AB-BA)^k à l'aide du binome de Newton en utilisant le fait que AB-BA=B

Certes je n'y avait pas penser mais après avoir appliqué le binôme de Newton, il y a des simplifications ? parce que j'arrive pas à simplifié et à aucun moment je n'utilise le fait que AB-BA=B ...

Attention le binome de Newton ne peut s'appliquer que si les elements commutent or dans un espace de matrices celles ci ne commutent pas forcement...

Ton idée de demo par recurence pour la question 1 est tres bien : continue la dessus.
pour k=1 c'est evidement comme d'habitude.
pour l'heredité non seulement il faudra utiliser que AB^k-B^kA=kB^k mais aussi que AB-BA=B

AB^k+1-B^k+1A
= AB^kB-B^k+1A
=(kB^k+B^kA)B-B^k+1A
=...

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Pour la question 3 il faut penser au fait que ||M||=0 ssi M=0

Essai de majorer ||kB^k|| et de voir que si k est trop grand ||B^k||est forcement nul sous peine de contredire ta majoration.

Pour la récurrence c'est exactement ce que j'avais fait auparavant en éssayant d'utiliser l'hypothèse de récurrence. J'ai essayer en partant de (k+1)B^k+1, de AB^k+1-B^k+1A et aussi de comme tu m'a proposé (ce que je suis en train d'essayer d'ailleurs) mais à chaque fois je n'arrive pas à utilisé AB-BA=B ...


j'ai continué ce que tu m'a porposé en remplaçant de même le deuxième B^k+1 donc j'obtient un truc du genre B(kB^k+B^kA-AB^k+kB^k) et la je pensais remplacer le B par AB-BA mais pour développé c'est la galère et je pense qu'il y a meilleure solution ...

je repars de mes pointillés et je t'en rajoute un bout...
Laisse le B^k+1A tranquille^^

=...
=kB^k+1+B^kAB     -B^k+1A
=kB^k+1+B^k(B+BA) -B^k+1A
=... ici je te laisse terminer... J'ai tout fait !


Je deconnecte j'espere que tu finiras l'exos

Ok je te remercie beaucoup, j'ai bien fini et la 3 je pense avoir trouver donc c'est nickel.

Merci