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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrices et polynômes

Posté par
Natalijaaaaa
19-03-23 à 15:09

Bonjour, j'ai un exercice où il faut démontrer des égalités, mais il s'agit d'un nouveau sujet pour moi et je ne comprends pas très bien comment il faut faire les démonstrations. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Voici l'énoncé de l'exercice :
Soit M ∈ Matn×n(K) une matrice. Si f(X) = Σ0≤i≤d aiXi ∈ K[X] est un polynôme, alors nous posons f(M) := Σ0≤i≤d aiMi ∈ Matn×n(K).
Noter : M^0 = idn.
Démontrer que l'application « évaluation »
evM : K[X] → Matn×n(K), f(X) |→ f(M)
est un homomorphisme d'anneaux, c'est-à-dire, montrer les assertions suivantes pour tout f, g ∈ K[X] :
(1) evM (1) = idn,
(2) evM(f+g)=evM(f)+evM(g),
(3) evM(f·g)=evM(f)·evM(g).

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Matrices et polynômes 19-03-23 à 15:16

salut

c'est incompréhensible sans les indices et les exposants manquants nécessaires à la compréhension !!

pour cela tu as les touches X2 et X2 permettant d'écrire indice et exposant ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et polynômes 19-03-23 à 15:23

Bonjour

Il s'agit de simples vérifications. Il faut donc comprendre de quoi on parle.
Exemple: Si P(X)=X^5-2X^4+3, alors P(M)=M^5-2M^4+3I.

Alors ev_M fait correspondre à un polynôme P l'application M\mapsto P(M).

Tu essaies de répondre aux questions posées?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Matrices et polynômes 19-03-23 à 15:34

J'ai bien compris merci. Mais comment démontrer  evM (1) = idn ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et polynômes 19-03-23 à 15:38

C'est par définition! On t'a dit que M^0=I



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