Salut
pour le 1) ta matrice est triangulaire d son déterminant est facile à calculer et vaut 1.

2)e2+e3 est un vecteur propre pour la valeur propre 0 cela se voi ase favcilementaprs faut quet chrchs unveteu prore our la valeur2 e un eteur prorepour la valeur 3

Pour le 2 je vais me debrouiller ca doit pas etre tres difficile, par contre je ne sais pas encore ce qu'est un determinant de matrice.

Désolé pour le 1, sans le calcul du déterminant je ne sais pas comment faire, quels sont les critères que vous utilisez pour montrer qu'une matrice est inversible.

Le plus souvent dans ces cas nous utilisons l'une des deux propriétés de ce corollaire :
- Une matrice carrée d'ordre n est inversible si et seulement si elle est de rang n.
- Une matrice M carrée d'ordre n est inversible si et seulement si pour toute matrice colonne X de type (n,1), on a : MX=0 X=0

OK
donc pour le 1 soit tu vois que ta matrice est de rang n, a ce moment la c'est fini, sinon tu peux utiliser ta deuxième propriétés
Soit

Tu peux asse facilement voir que si BX=0 alors X=0

c'est ce que j'ai fait ca marche sans le moindre probleme d'ailleurs, mais apres comment puis je trouver son inverse ?

Donc on sait que AX=Y
et on sait écrire les coeff de Y en fonction de ceux de X

si i>1
Il te faut donc écrire en fonction des
Déjà

pour i>1 cela se montre par récurrence
Et ainsi tu dois pouvoir écrire l'inverse de A

Je recapitule :

La matrice inverse que je recherche est celle de B dans le premier exo, j'ai montré qu'elle etait inversible et c'est tout ce qu'il me reste a trouver, je ne sais pas si c'est cela que tu m'as donné mais comme tu as fait intervenir un A j'en doute...

Pour l'exo 2 j'ai bien avancé et j'aimerais etre sur, en fait j'ai posé B'=(e₁,e₂,e₃) la nouvelle base de R³, et j'ai ensuite voulu resoudre des equations, en posant par exemple que e₁=++ et en resolvant ce qui me semble etre bon, cad f(e₁)=2e₁, f(e₂)=0 et f(e₃)=3e₃.
Pour cela je me suis servit de la matrice A pour donner f(), f() et f() en fonction de , et .

Je trouve au final e₁=a(+), e₂=b(+) et enfin e₃=c(+) avec (a,b,c) appartenant a R^*3.
Je voudrai surtout savoir si cela est bon, car apres je peux trouver les matrices de passages sans trop de souci...
Merci

Excuse moi j'ai mis un A au lieu d'un B, mais le principe est le bon pour
cet exercice une fois que tu as exprimé X en fonction de Y tu as ta matrice inverse.

l'exo 2
en effet f(i)=5/2i+j+3/2k
f(j)=-1/2i+j-3/2k
f(k)=1/2i-j+3/2k
f(i+j)=2i+2j=2(i+j) ainsi i+j est bien un vecteur propre pour la valeur propre 2
f(j+k)=0 donc c'est bon
et f(i+k)=3i+3k=3(i+k) donc c parfait

Ok tant mieux, je ne connais pas les valeurs propres et toutcel amais si ca marche tantmieux et merci a toi
a bientot

Bonjour, voila j'ai trouvé pour le 2) mes matrices de passages d'une base a l'autre mais avec cela je ne vois pas comment calculer la puissance nieme de ma matrice A initiale... Comment dois je utiliser les calculs precedents?

Et je ne comprend pas comment trouver dans la 1) la matrice inverse de B, je ne connais pas la methode de titimarion, comment faire autrement svp ?
merci

Bonjour.
Une méthode consiste à échelonner la matrice A de façon à obtenir la matrice unité et dans le même temps, en utilisant les transformations d'échelonnement pour A, les appliquer à la matrice unité.  On obtient ainsi la matrice inverse, en ayant pris soin de montrer qu'elle est inversible.
Par exemple,

(la matrice est donc de rang 3 : elle est inversible)
et

En appliquant les mêmes transformations à I, il vient :

(sauf distraction).
Bon travail.