Bonjour,

Peux-tu démontrer que (A+B)(A-B) est inversible ?

Je ne vois pas non plus comment montrer ça :/

Déjà, que vaut (A+B)(A-B) ?
Ensuite, que peux-tu dire de cette matrice ?

Les hypothèses jouent à plein ici :
A est antisymétrique, B est symétrique, AB=BA et B est inversible.

J'obtiens A^2 - B^2 qui est symétrique.

Exact, tu as une matrice symétrique.

Est-ce que tu connais des propriétés des matrices symétriques réelles qui entraînent qu'elles soient inversibles ?

Je sais qu'elles sont diagonalisables, donc il faudrait que 0 n'appartienne pas au spectre ?

Bon, j'appuie un peu plus le coup de pouce : je pense au fait d'être définie positive ou définie négative.

Oui, si une matrice est définie positive ou négative alors son spectre est dans R*+ ou R*- et elle est donc inversible.

Et alors, pour ton exercice ?

Je ne vois pas comment savoir que (A+B)(A-B) soit inversible permet de montrer que A-B et A+B sont inversibles ?

Vraiment ??

Si tu as deux matrices carrées de taille , disons et , telles que soit inversible, tu ne vois pas comment montrer que et sont inversibles ?

Si tu appelles l'inverse de , tu as . Toujours pas ?

Ah oui ! Si j'appelle Q l'inverse de (A+B)(A-B), alors Q^(-1)*(A-B)^(-1) est l'inverse de (A+B), et même raisonnement pour l'inverse de (A-B) ?

Non, reprends ton calcul, tu t'emmêles les pinceaux.
Tu vois bien que ça cloche, tu écris (A-B)^(-1) alors que tu veux démontrer que A_B comme A+B est inversible.

  donc il existe deux matrices telles que leur produit avec une autre matrice donne l'identitée. Alors U et V sont inversibles ?

Et l'inverse de est ....
(Compare avec ce que tu avais écrit plus haut).

(VQ)^(-1), j'ai été trop vite et pensais que c'était égal à V^(-1)*Q^(-1) ...

Bonjour,
Je réponds en l'absence de GBZM, mais en reprenant une partie d'un de ses messages :

Ah mais oui, l'inverse de M est N et l'inverse de N est M
Merci !

Donc l'inverse de (A+B) est (A-B)Q

Ouf !

Bon, maintenant, reprends la piste que je t'ai donnée pour montrer que est inversible.

salut

j'ai suivi de loin et j'ai une question parce qu'il me semble qu'un point n'a pas été démontré :

ha pardon ça : post croisés

je vais continuer à suivre

merci GBZM

En montrant que X(transposé)*(A^2-B^2)Y est un produit scalaire, alors je peux dire que A^2-B^2 est symétrique définie positive ou négative et donc que 0 n'appartient pas au spectre ?

La matrice d'un produit scalaire ne risque pas d'être définie négative.

Que peux-tu dire de ? Positive ? Négative ? Définie ?

Positive, mais je ne vois vraiment pas comment montrer definie positive.

Peux-tu rappeler toutes les hypothèses faites sur B ,

B est symétrique et inversible donc B^2 est symétrique définie positive.

Bon, on progresse. La question que tu devrais te poser ensuite, c'est que dire de  A^2 ? de A^2-B^2 ?

A est antisymétrique donc A^2 est symétrique mais je ne vois pas quoi en déduire d'autre ? (Je n'ai vu en cours que les matrices définies positives)

Tu es sûr de ne rien pouvoir dire sur la positivité ou la négativité ?
Quand-est-ce qu'une matrice symétrique est positive (négative) ?

J'ai bien A^2 > 0 et B^2 > 0 mais je ne vois pas comment avoir plus ? Faut t'il utiliser le théorème spectral ?

Que son spectre est inclu dans R*+

Ça, c'est une définition totalement inopérante ici.
Une matrice symétrique, c'est la matrice d'une forme quadratique.
Matrice symétrique réelle positive, qu'est-ce que ça veut dire pour la forme quadratique ?

Il faut que tous les a(i) de la forme quadratique soient positifs.

Revois ton cours, s'il te plaît, et donne une réponse compréhensible et correcte.

Dans certains cours, on parle aussi de matrice semi-définie positive. Je ne connais pas la terminologie employée dans ton cours.

Les formes quadratiques ne sont pas évoquées dans mon cours, donc je ne vois pas vraiment.

Il faut que la forme bilinéaire symétrique associée soit positive ?

Il n'y a vraiment aucune autre caractérisation de la positivité qu'en termes de spectre dans ton cours ?

AH ! Oui bien sûr, une matrice symétrique réelle est dite positive si et seulement si la forme bilinéaire symétrique qu'elle représente est positive. C'est sûrement écrit dans ton cours.

J'ai aussi que A est positive si X(transposé)AX > 0 pour tout X dans R^n, mais c'est tout.

Tout de même ! C'est tout ce dont tu as besoin.
Reprenons. Que peux-tu dire de ?

est symetrique car c'est le produit de deux matrices antisymétriques.

Ça on est bien d'accord, quoique le produit de deux matrices antisymétriques ne soit pas forcément symétrique ! Heureusement ici c'est deux fois la même.

Ceci dit, la question porte ici sur la positivité. Que peut-on en dire ? Utilise la dernière caractérisation que tu as donnée.

Je sors, je ne crois pas que je reviendrai sur le fil ce soir.
Essaie d'avancer tout seul, tu as tout en main.

Ah oui, après un petit calcul j'ai : X(transposé)(A^2)X = - norme(AX) < 0
Donc A^2 et - B^2 sont definies négatives ainsi que leur somme et donc A^2 - B^2 est inversible ?

Je pense donc voir comment finir l'exercice. Merci beaucoup pour votre patience et votre aide ! Bonne soirée

Je repasse juste pour te dire que c'est presque ça, mais pas tout à fait.

n'est pas DÉFINIE négative, parce que rien ne dit qu'elle est définie :
On a juste    pour tout , et ça peut être nul même si est non nul puisque n'est pas supposée inversible.

Mais rappelle-toi, au final c'est qui nous intéresse.

En effet,merci, comme B^2 est definie, alors A^2-B^2 l'est aussi.