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Matrices jacobiennes

Posté par
robby3 25-11-06 à 14:22

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide pour un exercice d'analyse et une notion nouvelle pour moi:les matrices jacobiennes.
\rm Soient f et g 2 fonctions de R^3 ds R^2 et de R^2 dans R^3 définies par
\rm f(x,y,z)=(x^2+y^2,xyz) et g(u,v)=(uv,u^2v^2,e^u)
\rm la question étant de calculer les matrices jacobienes de fog et gof
Je propose que 'lon m'aide pour fog,je ferais le reste tout seul,c'est jsute histoire de comprendre comment ça marche:
J'ai \rm fog=(u^2v^2(1+u^2v^2),u^3v^3e^u)
il faut que je calcule les dérivées partielles de fog par rapport à u et par rapport à v...et c'est la qu'intervient un autre probleme lol je n'arrive pas à les trouver.
Merci de votre aide à tous.

Posté par
fusionfroidere : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:23

Salut

Determine la matrice jacobienne F de f puis celle G de g

La matrice jacobienne de fog est F*G

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:24

ahh ok bah déja si je comence mal je vais pas y arriver...merci de cette notion de cours que je n'avais pas vu et sans laquelle j'aurais pu chercher...lol.
Merci je vais voir ce que je trouve avec ça.

Posté par
fusionfroidere : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:26

En fait ta méthode est correcte aussi je pense.

Je préfère multiplier les matrices je trouve ça plus rapide

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:37

Je trouve ça mais ça me parait un peu bizarre non?\rm \frac{\partial f}{\partial x}=(2x+y^2,yz) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=(2y+x^2,xz)
\rm \frac{\partial f}{\partial z}=(x^2+y^2,xy) \\ \frac{\partial g}{\partial u}=(v,2uv^2,e^u
\rm \frac{\partial g}{\partial v}=(u,2vu^2,e^u)
Merci de me confirmer mes réponses...qui ne me convainquent pas du tout...

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:45

Bonjour robby3
Comme leur nom l'indique, les jacobiennes sont des matrices. La formule précise sur la composition est

J_{(x,y,z)}(g\circ f)=J_{f(x,y,z)}(g)\times J_{(x,y,z)}(f)
Ici, par exemple, on a

J_{(x,y,z)}(f)=\(\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 0 \\ yz & xz & xy \end{array}\)
Courage pour la suite!

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:49

ahhhhh ok ok,j'ai compris comment on mettais ça dans la matrice Merci bien.
(ps:comment on fait pour faire une matrice en latex?? parce que l'exemple qui ya sur le forum est trop complexe...)
Merci encore à tout le monde.

Posté par
fusionfroidere : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:50

Je trouve :

3$F=\(\array{\\2x&2y&0 \\yz&xz&xy}\)

et :

3$G=\(\array{\\v&u\\2uv&2uv\\ exp{u}&0}\)

Posté par
fusionfroidere : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:50

Bonjour Camélia

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:54

Citation :
Je trouve ça mais ça me parait un peu bizarre non?

\frac{\partial f}{\partial x}=(2x+y^2,yz) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=(2y+x^2,xz)\\ \frac{\partial f}{\partial z}=(x^2+y^2,xy) \\ \frac{\partial g}{\partial u}=(v,2uv^2,e^u) \\ \frac{\partial g}{\partial v}=(u,2vu^2,e^u)

En effet ! quand tu dérives par rapport à x, y doit être considéré comme une CONSTANTE. (et vice versa), d'où :
\frac{\partial f}{\partial x}=(2x+0,yz) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=(2y+0,xz)\\ \frac{\partial f}{\partial z}=(0,xy) \\ \frac{\partial g}{\partial u}=(v,2uv^2,e^u) \\ \frac{\partial g}{\partial v}=(u,2vu^2,0).
Mais tu pouvais tout à fait calculer les composées d'abord et les dérivées ensuite : dans un cas tu calcules les composées, dans l'autre tu calcules un produit de matrices, question calculs ça se vaut !

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:55

oui j'ai bien trouver ça pour F,c'est ok, mais pour G j'ai du 2uv^2 et du 2vu^2 sur la 2eme ligne...non?je me suis planté??
Salut Camelia et merci.

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:57

ahh salut lalof, je me disais aussi, c'est bizarre mes calculs(je m'en excuse, j'ai découvert les dérivées partielles il y seulement quelques jours...)
Merci de m'avoir aider pour ces calculs...

Posté par
fusionfroidere : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:58

Non tu as raison, erreur de frappe

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 14:58

robby a raison pour la deuxième ligne de g. Après multiplication, n'oublie pas de remplacer (u,v)=f(x,y,z).
Bonjour fusionfroide.

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:02

euhh tu ve dire que pour la multiplication de F par G je change u en x^2+y^2 et v en xyz??

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:09

Absolument (mais c'est plus facile de faire d'abord les multiplications!)

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:09

pour f rond g, plutôt le contraire : f rond g est fonction de (u,v) donc il ne reste que u et v, tu remplaces x par uv, y par u²v² et z par exp(u). Tout compte fait, ta méthode initiale (évaluer f rond g puis calculer les dérivées) était plus économique en calculs et moins "casse gueule"

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:20

ok trés bien lafol, merci à tout le monde,juste pour confirmer je trouve:
\rm 1ier ligne: 2uv^2+4u^3v^4   2u^2v+4u^4v^3 \\ 2eme ligne: e^uv^3u^2+u^2v^32e^u+u^3v^3e^u  v^2u^3e^u+u^3v^2e^u
on peut factoriser seulement par uv^2...voila je crois que c'est bon alors non??

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:26

Il manque des 3 dans tes dérivées de cubes, et quand tu dérives u^3v^3e^{u} par rapport à v, ce n'est pas un produit : u^3e^{u} est à considérer comme un coefficient multiplicateur

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 15:33

euhh mais en fait, la j'ai juste remplacer comme tu la di aprés avoir multiplier F par G...pourquoi tu me parles de dérivées de cubes?? j'ai pas saisi

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 16:07

parce que j'ai comparé ce que j'ai obtenu après avoir dérivé
2$ fog(u,v)=(u^2v^2+u^4v^4,u^3v^3e^u)
que tu avais donné dans ton message initial !

Posté par
robby3re : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 16:11

ahh ok ok pas de souci, j'ai compris,merci à tout le monde(lafol,Camelia et fusionfroide)

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices jacobiennes 25-11-06 à 16:12

Y'a pas d'quoi !


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