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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrices lignes-équivalentes

Posté par
fplanina
02-11-23 à 14:21

Bonjour à tous,

Je suis actuellement sur la chapitre «Applications linéaires, matrices et déterminants ».

Je m'intéresse aux matrices dites « lignes-équivalentes »

On me dit que les matrices lignes-équivalentes se trouvent à l'aide d'opérations élémentaires.

Dans un exemple on me dit :

A= \begin{pmatrix} 6& 3& 5\\ 4& -2& 1\end{pmatrix} et B= \begin{pmatrix} 4& 1& 3\\ 2& -4& -1\end{pmatrix}

sont lignes-équivalentes, car la matrice B a été obtenue en soustrayant 2 à chacun des éléments de la matrice de A.


J'avoue ne pas bien saisir de quel opération élémentaire on parle. Ce n'est pas une multiplication par un scalaire, ce n'est pas un échange, ce n'est pas  vraisemblablement l'ajout d'un multiple d'un des vecteurs de la famille à un autre . En fait c'est surtout le terme de "soustraire" que je ne comprends pas. Pourriez-vous m'éclairer là-dessus s'il vous plaît ? Autre question : Est-ce qu'il existe des matrices colonnes-équivalentes ?

Un grand merci d'avance

Posté par
GBZM
re : Matrices lignes-équivalentes 02-11-23 à 14:39

Bonjour,
Si c'est vraiment ce qui t'a été dit, alors c'est complètement idiot. Les deux matrices ne sont pas équivalentes selon les lignes, leurs formes échelonnées réduites ne sont pas les mêmes. Ce sont respectivement \large\begin{pmatrix}1&0&\frac{13}{24}\\0&1&\frac7{12}\end{pmatrix} et \large\begin{pmatrix} 1&0&\frac{11}{18}\\ 0&1&\frac59\end{pmatrix}.
Il y a bien sûr une notion d'équivalence selon les lignes, utilisant les opération élémentaires sur les colonnes. Les deux matrices de l'exemple sont équivalentes suivant les colonnes.

Posté par
fplanina
re : Matrices lignes-équivalentes 02-11-23 à 17:01

Merci. Donc des matrices colonnes-équivalentes n'ont pas la même forme échelonnée réduite, cela ne fonctionne que les lignes, c'est bien ça ?

Posté par
GBZM
re : Matrices lignes-équivalentes 02-11-23 à 17:58

Il y a aussi une forme échelonnée  réduite selon les colonnes obtenue par opérations élémentaires sur les colonnes.

Posté par
fplanina
re : Matrices lignes-équivalentes 03-11-23 à 13:02

Merci.

Mais pourquoi la notion de lignes-équivalence apparaît souvent dans les sources et le cours tandis que la notion colonne-équivalence n'apparaît jamais??

Posté par
GBZM
re : Matrices lignes-équivalentes 03-11-23 à 15:14

Parce que l'une se ramène à l'autre par transposition.
Et puis ce n'est pas tout à fait vrai qu'on n'en parle jamais : on peut demander par exemple de trouver une condition portant sur les sous-espaces associés à une matrice nécessaire et suffisante pour l'équivalence selon les colonnes (ou équivalence à droite) de deux matrices de même taille.

Posté par
fplanina
re : Matrices lignes-équivalentes 03-11-23 à 16:43

D'accord. Merci

Posté par
GBZM
re : Matrices lignes-équivalentes 04-11-23 à 13:51

Avec plaisir.



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