Bonsoir. Voici l'exercice sur lequel  j'ai des difficultés.
Montrer que si deux matrices carrées de même ordre A et B sont nilpotentes et permutent ,alors A+B est nilpotente.
Voici ce que j'ai fait.  J'interprète les hypothèses
Posons A et B deux matrices carrées d'ordre m.  
Il existe p entier inferieur ou egal à m tel que pour tout entier[n]supegal[p], A[n]=0 .
Il existe q entier inférieur ou égal à m tel que pour tout   entier  
[n]supegal[q]  ,B[n] =0.
et on a AB=BA.
Montrons que A+B est nilpotente.
Il s'agit de chercher l€N,[l]infegal[m] tel que pour tout [n]supegal[l],
(A+B)[n]=0.
Comme A et B permutent alors on peut utiliser la formule du binôme de Newton.
(A+B)[n]=somme(C [k][n]A[k] B[n-k] )pour k allant de 0 à n.
Posons M=min(p,q)
On a donc
(A+B)[n]=somme des(C[n][k]
A[k]B[n-k]) pour k allant de 0 à M-1.
Mais à partir d'ici je suis bloquée.