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matrices semblables
Bonjour.
Voilà j'ai un exercice sur les matrices semblables et je bloque sur une partie seulement.
Soit (e1,e2,…,en) la base canonique de R^n et u un endomorphisme et A la matrice de cet endomorphisme dans cette base.
La question était :
1) Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont nuls. (Je l'ai fait par récurrence : ça marche).
2) Soit A une matrice qui n'est pas un multiple de In (matrice identité en taille n), de trace : tr(A)= t non nul.
a) Montrez que pour tout entier k appartenant à [1, n], A est semblable a Ak telle que sur sa diagonale en ligne k colonne k il y ait « t » et des « 0 » sur le reste de la diagonale.
Je suis arrivé à la chose suivante : Si {ek, u (ek), u² (ek),…..u^n (ek))} est une base de R^n alors c bon. Ce que je n'arrive pas a montrer c'est le cas ou ça ne constituerait pas une base de R^n.
Merci de m'éclaircir un peu.
3) Montrer que toute matrice de trace t de Mn( R) est semblable a une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à t/n. (Sachant que je n'ai pas trouvé la question précédente,je ne trouve pas celle-ci non plus 
).
Merci encore.
Bonjour.
2°) J'appelle Ek,k la matrice dont tous les termes sont égaux à 0 sauf le terme situé à l'intersection de la ligne k et de la colonne k qui vaut 1. Bien sûr, tr(Ek,k) = 1.
Considérons alors la matrice A' = A - t.Ek,k.
La trace étant linéaire, : tr(A') = tr(A) - t.tr(Ek,k) = t - t = 0.
Donc, A' est une matrice de trace nulle et on peut lui appliquer le résultat de 1°).
Il existe donc P carrée inversible telle que : P-1.A'.P est semblabe à une matrice de trace nulle.
P-1.A'.P = P-1(A - t.Ek,k)P = P-1.A.P - t.P-1Ek,kP
En revenant à la définition de P :
matrice de passage de B à B' = application identité de (E,B') vers (E,B), on montre facilement que :
P-1Ek,kP = Ek,k.
Donc : P-1.A'.P = P-1.A.P - t.Ek,k, et finalement :
P-1.A.P = P-1.A'.P + t.Ek,k : matrice cherchée, puisque P-1.A'.P est de trace nulle.
3°) Dans cette question, je ferais comme en 2°) en posant cette fois A" = A - (t/n)I.
A plus RR.
Desolé, je viens de lire ce que tu as posté. Merci pour ton aide. c'est exactement ça.
juste une dernière question indépendante de la précédente.
Un endomorphisme est diagonale n'implique pas forcément que le polynome caractéristique est scindé à racines simples.
Parceque dans l'exercice suivant
Soit E un ev de dim finie.et f g deux endormorphismes de E tels que fog=gof.
Montrer que si f diagonalisable et g diagonalisable alors fog diagonalisable.
Dans la correction ils utilisents l'équivalence suivante
"u" endomorphisme diagonalisable
son polynome caractéristique est scindé à racines simples.
Ce n'est pas une équivalence.
Corrigez moi si je me trompe.merci.
Bonjour,
scindé oui, racine simple pas forcément
Emtt.
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