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Matrices semblables

Posté par AitOuglif 30-01-24 à 19:52

Bonsoir

A est une matrice non nulle et non inversible de M_3(\R) telle que A^3=-A. Je veux montrer que A est semblable à la matrice 
 \\ \begin{bmatrix}
 \\     0& 0& 0 \\
 \\     0& 0&-1\\
 \\     0& 1& 0 \\
 \\ \end{bmatrix}
 \\
Je sèche complètement.
J'ai montré par le lemme des noyaux que \R^3=\ker A \oplus \ker (A^2+id) et mon brouillon tout moche me dit qu'il faudrait que \ker A soit de dimension 1 et \ker(A^2+id) soit de dimension 2…J'ai oublié toutes ces choses! Merci si vous avez une piste!

Posté par
Ulmiere
re : Matrices semblables 30-01-24 à 20:45

Trouve une base B = (u,v,w) de \R^3 telle que la matrice que tu as écrite soit la matrice qui représente A dans la base B.

C'est à dire telle que Au = 0, Av = w et Aw = -v.
Ces conditions impliquent clairement que u appartient à ker(A) et v et w appartiennent à ker(A²+id)

Posté par AitOuglifre : Matrices semblables 30-01-24 à 21:24

Merci Ulmière, j'ai bien fait ça mais sans connaître grand chose sur A, c'est compliqué…

Posté par
Ulmiere
re : Matrices semblables 30-01-24 à 22:49

Et bien si Ax = y, tu appliques encore deux fois A et tu as alors -Ax = A^2y et donc Im(A) est inclus dans Ker(A^2+id).

Réciproquement, si A^2x = -x alors x = A(-Ax) et donc Ker(A^2+id) est inclus dans Im(A).


Donc ça répond à ta question sur les dimensions il me semble.
Tu prends v = Ax n'importe quel élément non nul de l'image de A mais pas dans le noyau (pourquoi ça existe ?), il vérifie automatiquement A^2v = -v.
Tu prends w = Av, et tu auras automatiquement Aw = -v aussi.

Indépendance linéaire : si av+bw = 0 alors aw-bv = 0, en appliquant A.
On en déduit que abv = -b^2w = a^2w, donc a^2+b^2=0 car w n'est pas nul. Donc (v,w) est toujours une base de l'image de A, qui est donc toujours de dimension 2.

Tu complètes cette base par un élément non nul du noyau qui est en Somme directe avec limage et tu obtiens une base de R^3 dans laquelle la matrice de A est celle que tu as écrite.

Posté par AitOuglifre : Matrices semblables 30-01-24 à 23:23

Merci!
« (pourquoi ça existe ?) »
Parce que le seul élément dans les deux à la fois est le vecteur nul(im A et ker A sont en somme directe).
Par contre, pourquoi
\ker(A^2+id)=im(A) répond à ma question dès ton premier paragraphe?



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