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Matrices semblables et applications linéaires
Bonjour à tous, je suis actuellement sur un problème qui concerne les matrices semblables, et j'aurait besoin d'un coup de pouce.
Je ne comprends pas très bien comment montrer que deux matrices représentent le même endomorphisme.
Si par exemple je prends un endomorphisme u dans R^3 de matrice B dans la base canonique (e1,e2,e3) telle que u(e1)=e1 u(e2)=e2 et u(e3)=e2+e3
B est la matrice :
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Je veux montrer qu'elle est semblable à la matrice A :
1 0 0
0 0 -1
0 1 2
Avec ce que j'ai compris je suis amené à dire la chose suivante:
Soit (e1',e2',e3') une autre base de R^3 telle que e1'=e1, e2'= -e3+e2 , e3'=e2
C'est bien une base (famille libre et de même dimension que R^3)
D'apres la matrice A :
u(e1') = e1'
u(e2') = e3'
u(e3') = -e2'+e3'
Soit donc en remplaçant :
u(e1')= e1
u(e2')= e2
u(e3')= e3-e2+2e2=e3+e2
On remarque que u(e1)=u(e1'), u(e2)=u(e2'), u(e3)=u(e3')
Donc les matrices A et B représentent le même endomorphisme et sont donc semblables
Je sens bien que ça ne vaut rien comme raisonnement, car ce n'est pas clair pour moi ce que veut dire " représentent le même endomorphisme dans des bases différentes ", j'aurait donc besoin d'aide à ce niveau là.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses,
A bientot.
En me relisant je viens de voir que je parle de l'endomorphisme u en l'applicant à A, devrais plutôt considérer l'endomorphisme v de matrice A dans la base (e1',e2',e3') et montrer que u=v ?
Enfin bref vous l'aurez compris, ce n'est pas clair pour moi, aidez moi vite 
Bonsoir,
j'ai réflechi tout aujourd'hui mais je ne vois toujours pas..!
Aidez-moi!
Merci.
si j'ai bien compris ton probleme c'est un probleme de changement de base
la matrice représentative d'une application lineaire f dans une base E est formée des images des vecteurs de la base, disposés en colonne.
A et B représentent le meme endomorphisme dans des bases differentes signifie que lorsque tu appliques f au vecteurs de base d'une base E' de ton espace tu obtiens B
en pratique il ets possible de passer de la matrice A à la matrice B en appliquant cette formule :
B = P-1AP
où P ets ce qu'on appelle la matrice de passage.
c'est plus clair?
Bonsoir et merci!
Je comprends bien ce que tu me dis sur la matrice de passage, mais je ne pense pas que la méthode consiste à trouver cette fameuse matrice P... (Il faut en plus trouver P^-1 en meme temps...).
Mais ce que je propose comme ébauche de solution c'est conforme à ce que tu me dis?
A et B représentent le meme endomorphisme dans des bases differentes signifie que lorsque tu appliques f au vecteurs de base d'une base E' de ton espace tu obtiens B
J'ai appliqué mon endomorphisme à la base E' = (e1', e2', e3') et je suis tombé sur les mêmes résultats qu'en l'appliquant à la base (e1,e2,e3) est-ce que cela signifie que A et B représentent le meme endomorphisme?
Merci d'avance et bonne soirée!
Petit apport au message précédent : je voulais dire que la méthode de trouver P est difficilement appliquable pour montrer que A et B sont semblables (car c'est mon but principal outre comprendre exactement les termes que j'emplois).
J'ai appliqué mon endomorphisme à la base E' = (e1', e2', e3') et je suis tombé sur les mêmes résultats qu'en l'appliquant à la base (e1,e2,e3) est-ce que cela signifie que A et B représentent le meme endomorphisme?
je dirai que oui mais il y a quelque chose qui me derange sans que j'arrive a mettre le doigt dessus...
si je vois ce que c'est je reposte
Oui c'est exactement ce que je pense, il y a un problème mais j'arrive pas à dire quoi. Je pense que la façon d'organiser l'argumentation n'est pas bonne où je sais pas trop quoi.
Mais j'y réflechie.
En tout cas merci à toi pour tes réponses, bonne nuit.
Alors il n'y a vraiment personne d'autre qui peut nous aider?
Dommage...
Bonjour
Deux matrices sont semblables si elles représentent la même fonction linéaire. Il faut donc prendre un x=x1e1+x2e2+x3e3. Commencer par calculer u(x) à l'aide de la metrice A. Puis écrire x sur la deuxième base et calculer u(x) à l'aide de la matrice B. Si on trouve la même chose, c'est qu'elles sont semblables!
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