Salut

Es-tu allé voir sur wiki ?

Y'a pas mal de trucs là-bas ^^

Je sais pas si ca un lien mais apres il me demande :

Déterminer alors la décomposition de Dunford A = D + N avec D diagonalisable, N nilpotente et DN=ND.

Je n'ai pas encore vu ca en cours. Je me demandais aussi s'il y avait une methode pour decomposer (de cette maniere) une matrice trigonalisable A??

Voila, je bloque sur 2 questions de mon devoir maison : celle du poste precedent et celle de ce poste.

Si vous pouvez m'eclaircir les idees, j'en serai tres content

Merci d'avance

Nicolas

En reponse à "fusionfroide", oui j'ai fait des recherche sur wikipedia, mais j'ai rien trouvé a propos des matrices spectrales.

Et matrices des projecteurs spectraux, ca vous quelque chose?
c'est sans doute ca que ma prof appelle matrices spectrales...

Ca serait pas plutôt la décomposition spectrale ?

Je ne connais pas la décomposition spectrale.
Je pense qu'il faut que je trouve les projecteurs spectraux de ma matrice a l'aide des sous espaces caracteristiques de ma matrice A (que j'ai calculé ds la question precedente).
Quelqu'un sait comment trouver les projecteurs spectraux?

Puis a l'aide des projecteurs spectraux, je pourrais en deduire la decomposition de Dunford.

merci

Je n'arrive pas non plus à comprendre comment determiner de telles matrices, il ne semble pas y avoir de cours là dessus en ligne...

peut être un trés bref résumé de cours sur ce site pourra t'aider...
http://mpsiddl.free.fr/pdf/courspe/redfinie.pdf

Je pense en effet chercher du côté des projecteurs spectraux.

Bonjour

Bonjour.

Toutes ces définitions sentent à plein nez la décomposition de Jordan.

A plus RR.

Bonjour Raymond

Jordan? Pas plutot Dunford?

Bonjour jeanseb.

Si mes souvenirs sont exacts, la décomposition de Jordan donne la décomposition de Dunford.

A plus RR

Si mon DM vous interesse, il est à ce lien : http://lenea.free.fr/documents/2A/Alg%e8bre/071026%20-%20DM.pdf

J'ai à le rendre pour demain, je ne pense pas faire la question sur "les matrices spectrales".
J'ai apercu sur internet des choses sur les matrices des projecteurs spectraux qui pourrait avoir un lien avec ca, mais j'ai pas bien compris ce que c'etait et je maitrise mal la notion de projecteurs.

Je ne pense pas que ca soit Jordan car je ne l'ai pas vu encore en cours, a vrai dire Dunford non plus. Je pensais que Jordan était plus "puissant" que Dunford en tant que décomposition.

Pour la décomposition, j'ai trouvé un exemple sur internet où il rangeait les vecteurs de bases des sous espaces caracteristiques (et non les ss espaces propres) dans une matrice de passe P.

Puis apres, il dise : T=P_-1*A*P
et T=D+N
avec D la matrice diagonale avec les valeurs propres dessus.
Si on veut decomposer A, on réapplique les matrices de passage.
Ca avait l'air de marcher pour moi, mais je ne comprends pas pourquoi c'est comme ca.
En plus pour trigonaliser, j'utilisais la methode de prof en utilisant pour la matrice de passage les vecteurs de base des ss espaces propres en les completant aribitrairement pour faire une base de E (K-ev) ...mais c'est un peu du bidouillage puisqu'on a à le refaire parfois plusieurs avant d'obtenir une matrice triangulaire semblable T'.
Rq : Ce T' ne marche pas avec la decomposition de Dunford.

En reponse à Jeanseb :

oui j'ai vu diagonalisation, trigonalisation, th de Cayley-Hamilton... calculer les ss espaces propres (qui contiennent les vecteurs propre associé a une valeur propre.
Tu trouveras la matrice A dans le lien ci-dessus.

Merci encore pour votre aide

Nicolas

Reponse :

Utiliser la décomposition en éléments simples de 1/(polynome minimal). Cela permet de trouver les matrices des projecteurs spectraux (matrices spectrales). Ensuite, on peut faire la decomposition de Dunford!

Ca doit effectivement être les matrices es projecteurs spectraux. C'eszt à dire les projecteurs sur  Ker(A-lI)^n   où  n  est l'exposant dans le polynôme caractéristique. Tu écris  
Pcar(X)= produit (X-liI)^ni = produit Pi(X)

si  Qj(X) = Produit de Pi(X)  pour  i  différent de j  alors les  Qj  sont premiers entre eux dans leur ensemble , par Bezout tu as une relation
Sigma Aj(X) Qj(X)= 1  il est facile de voir que  Aj(u)Qj(u)  est le projecteur spectral relatif à l'endomoprhsisme u  de départ.

Bonsoir.

Je me permets de rajouter que ces projecteurs spectraux sont des polynômes en u, donc commutent entre eux.

A plus RR.

c'est bien

Bonjour sabaga.

Que cherches-tu ?