Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour demontrer le résultat suivant :
Soit A = (ai,j) une matrice stochastique de Mp(R) strictement positive.
On pose
B = A - Ip et B' la matrice de Mp-1(R) obtenue en supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de B.
Montrer que B' est inversible.
Je dispose déjà des résultats suivants :
- det(B) = 0 (car 1 valeur propre de A)
- toute valeur propre de A de module 1 est egale à 1
- Si λ est une valeur propre de B', alors il existe 0<= i <= p-1 tel que
|λ| >= ai,p
Auriez-vous une piste à me suggérer ?
Merci d'avance
salut
peut-être une idée ... en raisonnant par l'absurde :
supposons qu'il existe un vecteur v non nul tel que B'v = 0
en "normalisant convenablement" et en lui ajoutant la composante
tu obtiens un nouveau vecteur V de dimension p
tu peux alors travailler avec la matrice B = A - I en calculant BV et en regardant ce qui se passe sachant tout ce que tu connais sur les matrice A et B
J'ai calculé Bu comme vous m'avez conseillé.
En notant N la derniere ligne de B privée de (ap,p), vp la derniere composante de v' definie par (1-la somme) dans votre 1er message, et v' le vecteur normalisé de Ker(B'), j'obtiens à l'erreur de calcul près :
Au = (vp*a1,p, … , vp*ap-1,p, Nv' + vp*ap,p)
Je ne vois pas trop quoi faire avec ça : quelle contradiction vise-t-on à obtenir ?
Bonsoir,
La matrice est inversible si aucune de ses valeurs propres n'est nulle.
Au fait, tu dis avoir montré quelque chose sur le valeurs propres de ?
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :