Bonjour pourriez vous m'aider car j'arrive pas à faire cet exo et pourtant je buche dessus depuis deux jours j'ai réussi à faire la première partie c'était un exemple mais je ne vous l'ai pas indiqué ici car ce sont ces 3 autres parties qui me bloquent. Pourriez vous m'aidez svp? MErci bcp.

Dans tout l'exercice p désigne un entier naturel supérieur ou égal à deux.
On note MP(R) l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels et IP la matrice identité.
Une matrice M appartenant à MP(R) est dite stochastique si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
(i) Pour tout couple (i,j) d'entiers compris entre 1 et p,     (M)ij >=0

(II) Pour tout couple (i, j) d'entiers compris entre 1 et p, sum(j=1 :p)(M)i,j=1

Une matrice appartenant à MP(R) est dite déterministe si elle est stochastique avec des coefficients égaux
à 1 ou 0.
On dit enfin qu'une matrice A de MP(R) est r-périodique (où r £N*)   si Ar = Ip
On note :
• Sp : l'ensemble des matrices stochastiques de MP(R),
• Dp : l'ensemble des matrices déterministes,
• Ap : l'ensemble des matrices déterministes et inversibles.
2) Matrices stochastiques.
a) On pose :U=(colonne 1….1)Mp,1(R)
Montrer que : M £ Sp  si, et seulement si, quelquesoit (i,j) £ [1,p]², (M)i,j>=0 et MU=U
b) Prouver que, pour tout couple (@,µ) de nombres réels tels que@>=0,µ>=0 et @+µ=1, et pour tout couple (M,N) d'éléments de Sp,  @M + µN appartient encore à Sp.
c) Prouver que le produit MN de deux éléments M et N de Sp appartient à Sp.
3) Matrices déterministes.
a) Montrer qu'une matrice M est déterministe si, et seulement si, tous ses coefficients sont égaux à 0 ou à 1 et si chaque ligne de M contient exactement un coefficient égal à 1.
b) En déduire que Dp est un ensemble fini et préciser le nombre de ses éléments.
c) Montrer que card(Ap) = p !
d) Montrer que le produit MN de deux éléments M et N de Dp appartient à Dp.
e) Soit A une matrice déterministe. Prouver qu'il existe un entier r >= 1 et un entier m >= 0 tels que : Am+r = Am. Si de plus A est inversible, A est r-périodique.
f) Soit A une matrice déterministe inversible. Prouver que A^-1 l'est aussi.
4) Matrices stochastiques inversibles.
Soit X et Y des éléments de Sp tels que : XY = Ip.
On se propose de montrer que X et Y sont déterministes inversibles.
a) On pose X = (aj,j) et Y = (bij) et pour tout j compris entre 1 et p,µj = max{b1,j, b2,j…bp,j}
Prouver que µj = 1.
Pour cela, on pourra calculer le coefficient (XY)j,j
b) Montrer que :
sum(i=1 :p)sum(j=1 :p)bi,j=sum(j=1 :p)µj
En déduire que tous les coefficients de Y sont égaux à 0 et 1.
c) Prouver que Y et X appartient à Ap.