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Niveau Maths sup
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matrices supérieur

Posté par signeloubna (invité) 16-12-04 à 19:48

bonsoir
j'ai trouvé un très gros problème avec un exo de matrices,je n'arrive pas à saisir mon cours, voilà ce que ça dit:
soit une matrice A symétrique réelle inversible:

a/ montrer qu'on peut factoriser A sous la forme LM^T(L fois la transposée de M) , où L et M sont des matrices triangulaires inférieure réelles dont les éléments sont égaux en valeur absolue, si la factorisation de Gauss est possible sans aucune permutation.

b/ ecrire l'algorithme de construction de L et de M

pour la question (c) que je n'ai pas cité, je sais comment la faire en la déduisant des deux premières questions, ça consiste à résoudre un système matriciel.

merci infiniment de l'aide que vous allez me procurer, car cet exercice est primordial dans ma note de participation, je ne veux pas avoir la solution pure et simple, mais je VEUX comprendre mon cours, comprendre comment résonner dans un tel exercice..

merci beaucoup

Posté par
franz
re : matrices supérieur 16-12-04 à 22:17

Je me hasarde à te donner une réponse même si les notions de bilinéarité sont très loin derrière moi.

On peut considérer que la matrice A est la matrice d'une forme quadratique dans la base canonique {\mathcal B}=(e_1,e_2,...,e_n).
Lorsque tu effectues la factorisation de Gauss sur une forme quadratique\Phi, tu aboutis à \Phi = \Bigsum_{i=1}^n\lambda_i \varphi_i^2, où les   \varphi_i sont des formes linéaires linéairement indépendantes telles que si la factorisation de Gauss est possible sans aucune permutation.

\{ \array{rcl$Vect(e_n) & \subset & {\mathcal K}er \varphi_{n-1} \\ \vspace{5} \\ Vect(e_n,e_{n-1}) & \subset & {\mathcal K}er \varphi_{n-2}\\ \vdots\\ Vect(e_n,e_{n-1},...,e_2) & \subset & {\mathcal K}er \varphi_1}

Concrètement cela se traduit par
si x=\Bigsum_{i=1}^n\x_i e_i, \varphi_k(x)=\Bigsum_{i=1}^k a_{k,i} \x_i avec a_{k,k}\neq 0


De plus l'énoncé te dis que la matrice A est inversible c'est-à-dire qu'aucun  \lambda_i n'est nul.

Si tu nommes B=\(\array{cccc$a_{11}&0& 0 &...&0\\a_{21}&a_{22}&0&...&0\\ & & & \ddots & \vdots \\a_{n1}&a_{n2}&...&...&a_{nn}}\) et D = diag(\lambda_1 ,\lambda_2 ,...,\lambda_n) on a

A = B.D.^tB

A partir de là il suffi de "dispatcher" les \lambda_i sur B et ^tB
en multipliant par
\bullet \sqrt{\lambda_i} la ligne i de B et la colonne i de ^tB si \lambda_i>0
\bullet \sqrt{-\lambda_i} la ligne i de B et par -\sqrt{-\lambda_i} la colonne i de ^tB si \lambda_i<0

On parvient ainsi au résultat souhaité.

Posté par signeloubna (invité)re : matrices supérieur 19-12-04 à 15:22

merci franz, même si c'est un petit peu plus compliqué que ce que l'on fait, mais c'est très rigoureusement fait, merci beaucoup, je vais travailler encore quelques exos de matrices pour mieux comprendre..
bonne journée



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