Bonjour jeanseb

Ici, B n'est a priori pas semblable à D mais seulement congruente à D, ce qui n'est du tout la même chose. Par contre, les notions coïncident lorsque P est une matrice orthogonale.

Kaiser

En effet jeanseb si P n'est pas une matrice orthogonale, on n'a pas ^tP=P^-1

(question au pasage :  
- Sn⁺⁺ ce sont les matrices symétriques définies positives ? )

Autre question : diagonaliser une forme bilinéaire symétrique, cela signifier chercher sa forme donnée par la loi d'inertie de Sylvester (truc avec la signature) ?

(question au passage : pourquoi ce théorème est appelé "loi d'inertie" ? )

Bonjour et merci pour vos réponses.

Mais le mystère reste entier: Dans la démonstration, la matrice P en question est celle qui permet de diagonaliser la matrice symétrique dans une base orthonormée, donc P On(R), justement, elle est orthogonale!(voir Algèbre de JM Monier, pages 138 et 141).

Sinon Sn ++ est l'ensemble des matrices symétriques réelles à spectre strictement positif, et donc définissant un produit scalaire.

La condition A=^tPP donnerait alors A=Id.

C'est-à-dire que A est une matrice symétriques et que la base d'arrivée de P est une base orthonormée ? Que veux-tu dire par "la matrice P en question est celle qui permet de diagonaliser la matrice symétrique dans une base orthonormée " ?

Merci de votre aide, je vais essayer de vous transmettre la démonstration

1er théorème:

L'e.v.e admet au moins une b.o.n B1: notons A1= Mat(B1) (f)

Puisque A1 est symétrique,d'après le théorème fondamental il existe O On(R) (donc orthogonale) et D Dn(R) telle que A1 = O D O^-1

Notons B la base déduite de B1 par la matrice de passage O.
Alors B est orthonormée (puisque B1 est orthonormée et O orthogonale) et d'après les formules de changement de base:

MatB (f) =  ^t O A1 O =  ^t O ( O D O^-1) O = D

Voila la démonstration de Monier

Cette !!§§grgr!??! matrice D est bien formée des valeurs propres de A1 non? Dans le "théorème fondamental", il s'agit bien de la diagonalisation d'une matrice symétrique, non?

Maintenant, la remarque de Stokastik, elle est claire! Je me l'étais faite, et de là vient ma perplexité...

Le théorème fondamental c'est le théorème spectral comme sur Wikipédia : ? Il ne fournit pas une matrice de passage orthogonale.

Mais en effet quelque chose m'échappe aussi... j'y renviendrai plus tard.

2ème théorème, pendant qu'on y est:
A Sn++ donc la fbs fA
qu'elle définit est un produit scalaire sur Mn,1.

Soit fB la fbs représentée par B dans la base canonique B° de Mn,1(R).

D'après le théorème n°1 ci-dessus, il existe une b.o.n B de (Mn,1(R), fA) telle que la matrice D de fB dans B soit diagonale. Notons P = Matrice de passage de B° à B.

Comme fA est représentée dans B° par A et dans B par In (car B est orthonormée pour fA), on a (formules de changement de base)
A = t P In P = t P P.
De même B = t P D P .

Et là précision: " Les éléments diagonaux nesont pas "en général" les valeurs propres de B" ...

Tu n'as pas répondu à mon post de 18:28. Théorème fondamental = théorème spectral comme sur Wikipédia ? Il semble que le problème vient de là, non ?

Oui, excuse-moi, c'est bien le même théorème.

Donc tu dois d'abord te convaincre que ce théorème ne fournit pas une matrice orthogonale, ce qui explique le reste.

Je suis d'accord pour le premier théorème.
Pour le second théorème, P est la matrice de passage de B° à B mais P n'est pas forcément orthogonale(pour le produit scalaire canonique). En effet, B est la base canonique de et c'est donc une base orthonormée pour le produit scalaire canonique mais B° est une base orthonormée pour l'autre produit scalaire mais pas nécessairement pour le produit scalaire canonique.

Je ne sais pas si ce que j'ai dit est clair !

Kaiser

Mais pourquoi "Il semble que le problème vient de là"?

Merci de vos réponses.

Il va falloir que j'y réfléchisse de près.

Kaiser, il m'avait semblé possible que mon bug vienne de ce que tu dis. Rassure-toi, ce que tu as écrit est clair.

Stokastik, dis-tu que la matrice non orthogonale fournie est la matrice de passage? De quelle base à quelle base?

Je ne comprends pas dans la preuve du théorème de réduction simultanée de Wikipédia (),  pourquoi ce n'est pas A=^tPP et B=P^-1DP ?

Il faut que je souffle un instant, je ne comprends plus rien.

Eh, Stokastik on se connait peut-être?
Tu enseignes où? (Oui, je sais on n'est pas sur MSN)...

Non en fait je ne suis plus prof depuis un certain temps.

Non mais sérieux, j'insiste sur ma question de 19:15, le théorème spectral parle bien de la diagonalisation d'un endomorphisme, pourquoi ce n'est pas B=P^{-1}DP ??

Je crois avoir compris, d'après Kaiser:
la matrice P est la matrice de passage de B° (base canonique de Mn,1(R)) dans B (b.o.n de Mn,1 (R), mais pour fA). Il n'y a donc pas passage d'une b.o.n à une b.o.n puisque ce n'est pas le même produit scalaire, donc pas de raison que P soit orthogonale. Donc tP n'est pas egale à P-1.
Non?

Oui c'est cela.

Il me sembl avoir tout compris maintenant et je reste persuadé que la preuve du théorème de réduction simultanée de Wikipédia n'est pas correcte.

Non en fait je ne comprends plus ton théorème 1. Quelles sont les données et quelle est la conclusion ?

Soient (E, < > ) un espace vectoriel euclidien et f une forme bilinéaire symétrique sur E x E,
Il existe une base orthonormée de (E, < > ) dans laquelle la matrice de f est diagonale.

En fait, le théorème 2 est  la transposition matricielle du théorème 1:

la matrice A de Sn++ donne le  produit scalaire de l'espace vectoriel euclidien dans la base canonique de Mn,1(R) qui, dans la base orthonormée de la conclusion du théorème a pour matrice In, puisque c'est une base orthonormée. Donc (formule de changement de base pour les fbs) A = ^t P In P = ^t P P. Dans le même temps, on a ordinairement mis la fbs sous forme diagonale D, comme on le fait pour éliminer les termes en xy dans les équations de coniques . Ca répond au post de 17h 37 : ce n'est pas encore la loi de Sylvester, car dans Sylvester il n'y a que des 1, des -1 et des 0 sur la diagonale. Mais on y est presque

Ok. Moi je mettrais en valeur le corollaire 1 :

kaiser as-tu jeté un oeil à la preuve du théorème de réduction simultanée de Wikipédia (lien ci-dessus) ? J'aimerais savoir si, comme moi, tu penses qu'il y a une boulette.

Merci tout le monde!
Jeanseb

Bonjour à tous

Stokastik> j'ai bien lu et relu la preuve du théorème et je la trouve un peu succinte.
Pour ma part, j'ai essayé de m'en tirer autrement.
Comme A est une matrice symétrique définie positive, il existe une matrice symétrique définie positive S telle que .
Posons .
On vérifie assez facilement que cette dernière matrice est symétrique et donc par le théorème spectrale, il existe une matrice orthogonale O et une matrice diagonale D vérifiant et donc on a avec .
Par ailleurs, on a , d'où le résultat.

Kaiser

Ok mais tu utilises l'existence d'une racine carrée des matrices symétriques définies positives en plus du théorème spectral. Ta méthode est moins économique en connaissances. Par ailleurs, dans la preuve comme celle du "corollaire 2" (mon post plus haut), A représente un produit scalaire, on passe d'une base orthonormée à une autre, je trouve que c'est plus "visuel" que ta preuve qui semble reposer sur des astuces algébriques.

Question : quand tu écris "par le théorème spectral", tu utilises en fait le corollaire 1 (mon post plus haut) ; est-ce que c'est parce que pour toi ce corollaire est suffisament immédiat ?

Tout d'abord, j'admets le théorème spectral (corollaire 1) et dans l'absolu, non, je ne trouve pas immédiat.
Ensuite, l'existence d'une racine carrée découle de ce théorème.

C'est le corollaire 1 que tu appeles le théorème spectral ? Pas le théorème 1 ?

oups désolé, en fait, je les appelle tous les 2 théorème spectral .